На координатной плоскости заданы точки А (-1;6), B (-4;-9), C (8;-10)и D (7;-27). Найдите длину вектора 3AC- 2Bd

Чтобы найти длину вектора \( 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{BD} \), начнем с того, что нам нужно вычислить векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \).

Шаг 1: Нахождение векторов

1. Найдем вектор \( \overrightarrow{AC} \):

   Точки A(-1; 6) и C(8; -10). Вектор \( \overrightarrow{AC} \) определяется как: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16). \]

2. Найдем вектор \( \overrightarrow{BD} \):

   Точки B(-4; -9) и D(7; -27). Вектор \( \overrightarrow{BD} \): \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (7 - (-4), -27 - (-9)) = (7 + 4, -27 + 9) = (11, -18). \]

Шаг 2: Вычисление выражения \( 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{BD} \)

Теперь подставим найденные векторы в выражение \( 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{BD} \):

1. Умножим вектор \( \overrightarrow{AC} \) на 3: \[ 3\overrightarrow{AC} = 3(9, -16) = (27, -48). \]

2. Умножим вектор \( \overrightarrow{BD} \) на 2: \[ 2\overrightarrow{BD} = 2(11, -18) = (22, -36). \]

3. Теперь вычтем \( 2\overrightarrow{BD} \) из \( 3\overrightarrow{AC} \): \[ 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{BD} = (27, -48) - (22, -36) = (27 - 22, -48 + 36) = (5, -12). \]

Шаг 3: Нахождение длины вектора

Теперь мы нашли вектор \( (5, -12) \). Чтобы найти его длину, используем формулу для длины вектора: \[ ||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2}, \] где \( (x, y) \) компоненты вектора. Для нашего вектора: \[ ||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13. \]

Ответ: Длина вектора \( 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{BD} \) равна \( 13 \).