Высота, проведённая из прямого угла треугольника SHK, равна 27. Найди гипотенузу треугольника SHK, если один из его катетов равен 45
Для того чтобы найти гипотенузу прямоугольного треугольника, зная высоту, опущенную из прямого угла, и длину одного из катетов, нам нужно воспользоваться некоторыми свойствами прямоугольного треугольника.
Дано:
- Высота (h) из прямого угла треугольника SHK = 27
- Один из катетов (a) = 45
Для начала, отметим, что высота из прямого угла (h) делит гипотенузу (c) на два отрезка и помогает нам найти вторую сторону треугольника, используя формулу площади.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
Через катеты: \[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \] где \( a \) и \( b \) – катеты треугольника.
Через гипотенузу и высоту: \[ P = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h, \] где \( c \) – гипотенуза, а \( h \) – высота, опущенная из прямого угла.
Теперь приравняем два выражения для площади:
\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \]
Сократим \(\frac{1}{2}\) с обеих сторон:
\[ a \cdot b = c \cdot h \]
Теперь мы можем выразить \( c \): \[ c = \frac{a \cdot b}{h} \]
Однако у нас пока нет второго катета \( b \). Мы можем воспользоваться Пифагоровой теоремой:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Теперь мы имеем два уравнения. Чтобы найти \( b \), воспользуемся высотой. Сначала выразим \( b \) через \( c \):
Из уравнения площади: \[ b = \frac{c \cdot h}{a} \]
Теперь подставим это значение во вторую формулу (Пифагор):
\[ c^2 = a^2 + \left( \frac{c \cdot h}{a} \right)^2 \]
Подставим известные значения \( a = 45 \) и \( h = 27 \):
\[ c^2 = 45^2 + \left( \frac{c \cdot 27}{45} \right)^2 \]
Посчитаем \( 45^2 = 2025 \):
\[ c^2 = 2025 + \left( \frac{27c}{45} \right)^2 \]
Упрощаем дробь:
\[ \frac{27}{45} = \frac{3}{5} \]
Следовательно, получаем:
\[ c^2 = 2025 + \left( \frac{3c}{5} \right)^2 \] \[ = 2025 + \frac{9c^2}{25} \]
Теперь умножим все уравнение на 25, чтобы избавиться от дробей:
\[ 25c^2 = 25 \cdot 2025 + 9c^2 \]
Преобразуем уравнение:
\[ 25c^2 - 9c^2 = 50625 \] \[ 16c^2 = 50625 \]
Теперь найдём \( c^2 \):
\[ c^2 = \frac{50625}{16} \]
Находим \( c \):
\[ c = \sqrt{\frac{50625}{16}} = \frac{\sqrt{50625}}{4} \]
Вычислим корень \( \sqrt{50625} \):
\[ \sqrt{50625} = 225 \]
Таким образом, получаем:
\[ c = \frac{225}{4} = 56.25 \]
Итак, гипотенуза треугольника SHK равна 56.25.
