Чтобы найти значение (\tan(a)) при условии, что (\cos(a) = -\frac{1}{\sqrt{37}}) и (a) принадлежит интервалу ((\pi; \frac{3\pi}{2})), следуем следующим шагам.
Шаг 1: Найдем значение (\sin(a))
По тригонометрической идентичности:
[
\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1
]
Подставим значение (\cos(a)):
[
\sin^2(a) + \left(-\frac{1}{\sqrt{37}}\right)^2 = 1
]
Теперь вычислим (\left(-\frac{1}{\sqrt{37}}\right)^2):
[
\left(-\frac{1}{\sqrt{37}}\right)^2 = \frac{1}{37}
]
Подставляем в уравнение:
[
\sin^2(a) + \frac{1}{37} = 1
]
Вычтем (\frac{1}{37}) из обеих сторон:
[
\sin^2(a) = 1 - \frac{1}{37} = \frac{37}{37} - \frac{1}{37} = \frac{36}{37}
]
Теперь найдем (\sin(a)):
[
\sin(a) = \pm \sqrt{\frac{36}{37}} = \pm \frac{6}{\sqrt{37}}
]
Шаг 2: Определим знак (\sin(a))
Так как (a) находится в интервале ((\pi; \frac{3\pi}{2})), он находится в третьемQuadrant. В третьем квадрате синус отрицательный, следовательно:
[
\sin(a) = -\frac{6}{\sqrt{37}}
]
Шаг 3: Найдем (\tan(a))
Теперь, зная значения (\sin(a)) и (\cos(a)), найдем (\tan(a)):
[
\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} = \frac{-\frac{6}{\sqrt{37}}}{-\frac{1}{\sqrt{37}}}
]
Упрощаем дробь:
[
\tan(a) = \frac{-6}{-\frac{1}{\sqrt{37}}} = 6
]
Ответ
Таким образом, значение (\tan(a)) равно:
[
\boxed{6}
]
