Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим следующее:
- Пусть ( x ) — количество метров, на которые бригада увеличивает норму покраски каждый день.
- Пусть ( n ) — общее количество дней, в течение которых бригада красила забор.
Согласно условиям задачи, за первый день бригада покрасила ( a ) метров, а за последний день — ( a + (n - 1)x ) метров. Таким образом, сумма покрашенного забором за первый и последний день составляет 60 метров:
[
a + (a + (n - 1)x) = 60
]
Упростим это уравнение:
[
2a + (n - 1)x = 60 \quad (1)
]
Мы знаем, что забор длиной 240 метров был покрашен за все дни, то есть сумма метров, покрашенных за каждый день, равна 240. Сумму можно выразить через прогрессии. Если первый день — это ( a ), второй день — ( a + x ), третий — ( a + 2x ), и так далее, то за ( n ) дней бригада покрасила:
[
S = n \cdot a + (0 + 1 + 2 + \ldots + (n - 1)) \cdot x = na + \frac{(n - 1)n}{2}x
]
Это равно 240 метрам:
[
na + \frac{(n - 1)n}{2}x = 240 \quad (2)
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений, (1) и (2). Мы можем решить её. Для этого выразим ( a ) из уравнения (1):
[
2a = 60 - (n - 1)x \quad \Rightarrow \quad a = \frac{60 - (n - 1)x}{2}
]
Теперь подставим это значение для ( a ) в уравнение (2):
[
n \cdot \frac{60 - (n - 1)x}{2} + \frac{(n - 1)n}{2}x = 240
]
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
n(60 - (n - 1)x) + (n - 1)nx = 480
]
Раскроем скобки:
[
60n - n(n - 1)x + (n - 1)nx = 480
]
Соберем подобные слагаемые:
[
60n - n^2x = 480
]
Теперь выразим ( x ):
[
n^2x = 60n - 480 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{60n - 480}{n^2}
]
Теперь, из условия задачи, должно быть выполнено ограничение, что ( x ) должно быть положительным. Это означает:
[
60n - 480 > 0 \quad \Rightarrow \quad n > 8
]
Таким образом, ( n ) должно быть больше 8. Теперь проверим, какие значения ( n ) удовлетворяют уравнению, подбирая целые значения, начиная с 9:
Для ( n = 10 ):
[
x = \frac{60 \cdot 10 - 480}{10^2} = \frac{600 - 480}{100} = \frac{120}{100} = 1.2
]
Для ( n = 11 ):
[
x = \frac{60 \cdot 11 - 480}{11^2} = \frac{660 - 480}{121} = \frac{180}{121} \approx 1.49 \text{ (положительно)}
]
Для ( n = 12 ):
[
x = \frac{60 \cdot 12 - 480}{12^2} = \frac{720 - 480}{144} = \frac{240}{144} = \frac{5}{3} \text{ (положительно)}
]
Для ( n = 13 ):
[
x = \frac{60 \cdot 13 - 480}{13^2} = \frac{780 - 480}{169} = \frac{300}{169} \text{ (положительно)}
]
Таким образом, продолжая этот процесс, мы найдем, что ( n = 12 ) — это первое значение, которое даст целую норму и соответствует условиям задачи.
Итак, бригада маляров красила забор в течение 12 дней.
