Для функции (х) найти первообразную, график которой проходит через M a. f(x)=(x-8), M (8;1) б.f(x) = -3x²+ x 2 M (4:1)
Для решения данной задачи найдем первообразные (интегралы) для каждой из функций, а затем определим постоянные интегрирования так, чтобы график первообразной проходил через заданные точки.
Задача а
Функция: \( f(x) = x - 8 \)
Точка: \( M(8, 1) \)
Найдем первообразную:
Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = x - 8 \), мы интегрируем ее:\[ F(x) = \int (x - 8) \, dx = \frac{x^2}{2} - 8x + C \]
Здесь \( C \) - постоянная интегрирования.
Используем точку \( M(8, 1) \): Подставим координаты точки М в первообразную:
\[ F(8) = \frac{8^2}{2} - 8 \cdot 8 + C = 1 \]
Проведем вычисления:
\[ F(8) = \frac{64}{2} - 64 + C = 1 \Rightarrow 32 - 64 + C = 1 \Rightarrow C = 1 + 32 = 33 \]
Запишем окончательную первообразную:
\[ F(x) = \frac{x^2}{2} - 8x + 33 \]
Задача б
Функция: \( f(x) = -3x^2 + x \)
Точка: \( M(4, 1) \)
Найдем первообразную:
Интегрируем функцию \( f(x) \):\[ F(x) = \int (-3x^2 + x) \, dx = -x^3 + \frac{x^2}{2} + C \]
Используем точку \( M(4, 1) \): Подставим координаты точки М в первообразную:
\[ F(4) = -4^3 + \frac{4^2}{2} + C = 1 \]
Проведем вычисления:
\[ F(4) = -64 + 8 + C = 1 \Rightarrow -64 + 8 + C = 1 \Rightarrow C = 1 + 64 - 8 = 57 \]
Запишем окончательную первообразную:
\[ F(x) = -x^3 + \frac{x^2}{2} + 57 \]
Итоговые ответы
- Задача а: \( F(x) = \frac{x^2}{2} - 8x + 33 \)
- Задача б: \( F(x) = -x^3 + \frac{x^2}{2} + 57 \)
Так мы нашли первообразные и соблюли условия задачи, чтобы графики проходили через указанные точки. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
