Решить

Для решения неравенства \((x - 4) \cdot (2x + 6) \leq 0\) методом интервалов выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдите нули каждой скобки

1. \(x - 4 = 0\):
   \(x = 4\)

2. \(2x + 6 = 0\):
   \(2x = -6\)
   \(x = -3\)

Таким образом, нули: \(x = -3\) и \(x = 4\).

Шаг 2: Разделите числовую прямую на интервалы

Нули разбивают числовую прямую на интервалы:

• \( (-\infty, -3) \)
• \( (-3, 4) \)
• \( (4, \infty) \)

Шаг 3: Определите знак выражения на каждом интервале

Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в исходное выражение.

1. Интервал \((-∞, -3)\):
   Выбираем \(x = -4\).
   \((x - 4) = (-4 - 4) = -8\)
   \((2x + 6) = (2 \cdot -4 + 6) = -8 + 6 = -2\)
   Произведение: \((-8) \cdot (-2) = 16\), положительное.

2. Интервал \((-3, 4)\):
   Выбираем \(x = 0\).
   \((x - 4) = (0 - 4) = -4\)
   \((2x + 6) = (2 \cdot 0 + 6) = 6\)
   Произведение: \((-4) \cdot 6 = -24\), отрицательное.

3. Интервал \((4, \infty)\):
   Выбираем \(x = 5\).
   \((x - 4) = (5 - 4) = 1\)
   \((2x + 6) = (2 \cdot 5 + 6) = 10 + 6 = 16\)
   Произведение: \(1 \cdot 16 = 16\), положительное.

Шаг 4: Запишите решение

Нашли, что неравенство выполнено в интервале, где произведение отрицательное или равно нулю:

• В точках \(x = -3\) и \(x = 4\), произведение равно нулю, поэтому они входят в решение.
• Решение:

\[ [-3, 4] \]

Таким образом, \((x - 4) \cdot (2x + 6) \leq 0\) для \(x \in [-3, 4]\).