Найдите точку максимума функции y= x³ - 48x +17

Чтобы найти точку максимума функции \(y = x^3 - 48x + 17\), нужно следовать нескольким шагам, включая нахождение производной и решение уравнения. Давайте разберем этот процесс подробно. ### Шаг 1: Найдите производную функции Сначала найдем производную функции \(y\): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 48x + 17) = 3x^2 - 48. \] ### Шаг 2: Найдите критические точки Теперь, чтобы найти точки максимума и минимума, мы приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 - 48 = 0. \] Решим это уравнение. Сначала добавим 48 к обеим сторонам: \[ 3x^2 = 48. \] Теперь разделим обе стороны на 3: \[ x^2 = 16. \] Теперь извлекаем корень: \[ x = \pm 4. \] Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = 4\) и \(x = -4\). ### Шаг 3: Определите, где находится максимум или минимум Для того чтобы понять, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом, мы можем использовать второй производной или тест с интервалами. Найдём вторую производную: \[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 48x + 17) = 6x. \] Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную: 1. Для \(x = 4\): \[ y''(4) = 6 \times 4 = 24 > 0. \] Так как вторая производная положительна, это значит, что в \(x = 4\) у нас точка минимума. 2. Для \(x = -4\): \[ y''(-4) = 6 \times (-4) = -24 < 0. \] Так как вторая производная отрицательна, это значит, что в \(x = -4\) у нас точка максимума. ### Шаг 4: Найдите значение функции в точке максимума Теперь найдем значение функции в точке максимума \(x = -4\): \[ y(-4) = (-4)^3 - 48 \cdot (-4) + 17 = -64 + 192 + 17 = 145. \] ### Ответ Итак, функция \(y = x^3 - 48x + 17\) имеет точку максимума в \(x = -4\), где максимальное значение функции составляет \(y = 145\). **Итог:** Точка максимума функции \(y\) — это \((-4, 145)\).