Найдите точку максимума функции y= x³ - 48x +17
Чтобы найти точку максимума функции \(y = x^3 - 48x + 17\), нужно следовать нескольким шагам, включая нахождение производной и решение уравнения. Давайте разберем этот процесс подробно.
Шаг 1: Найдите производную функции
Сначала найдем производную функции \(y\):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 48x + 17) = 3x^2 - 48. \]
Шаг 2: Найдите критические точки
Теперь, чтобы найти точки максимума и минимума, мы приравняем производную к нулю:
\[ 3x^2 - 48 = 0. \]
Решим это уравнение. Сначала добавим 48 к обеим сторонам:
\[ 3x^2 = 48. \]
Теперь разделим обе стороны на 3:
\[ x^2 = 16. \]
Теперь извлекаем корень:
\[ x = \pm 4. \]
Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = 4\) и \(x = -4\).
Шаг 3: Определите, где находится максимум или минимум
Для того чтобы понять, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом, мы можем использовать второй производной или тест с интервалами.
Найдём вторую производную:
\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 48x + 17) = 6x. \]
Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:
- Для \(x = 4\):
\[ y''(4) = 6 \times 4 = 24 > 0. \]
Так как вторая производная положительна, это значит, что в \(x = 4\) у нас точка минимума.
- Для \(x = -4\):
\[ y''(-4) = 6 \times (-4) = -24 < 0. \]
Так как вторая производная отрицательна, это значит, что в \(x = -4\) у нас точка максимума.
Шаг 4: Найдите значение функции в точке максимума
Теперь найдем значение функции в точке максимума \(x = -4\):
\[ y(-4) = (-4)^3 - 48 \cdot (-4) + 17 = -64 + 192 + 17 = 145. \]
Ответ
Итак, функция \(y = x^3 - 48x + 17\) имеет точку максимума в \(x = -4\), где максимальное значение функции составляет \(y = 145\).
Итог: Точка максимума функции \(y\) — это \((-4, 145)\).
