(x²+4x)²-3(x²+4x)=10

Решим уравнение \((x² + 4x)² - 3(x² + 4x) = 10\) пошагово.

Шаг 1: Упростим обозначение

Обозначим \(y = x² + 4x\). Тогда наше уравнение запишется в более простом виде:

\[ y² - 3y = 10 \]

Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду

Переносим все элементы в левую часть:

\[ y² - 3y - 10 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -10\).

Сначала найдем дискриминант \(D = b² - 4ac\):

\[ D = (-3)² - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]

Теперь находим корни:

\[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 7}{2} \]

Шаг 4: Вычисляем значения \(y\)

1. Первый корень: \[ y_1 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

2. Второй корень: \[ y_2 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Шаг 5: Вернемся к переменной \(x\)

Теперь подставим обратно \(y\):

1. Для \(y_1 = 5\): \[ x² + 4x = 5 \]

   Переносим 5 влево: \[ x² + 4x - 5 = 0 \]

   Решаем это уравнение: \[ D = 4² - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

   Находим корни: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]

   • Корень 1: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \]
   • Корень 2: \[ x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]

2. Для \(y_2 = -2\): \[ x² + 4x = -2 \]

   Переносим -2 влево: \[ x² + 4x + 2 = 0 \]

   Рассчитаем дискриминант: \[ D = 4² - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 \]

   Находим корни: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2} \]

Шаг 6: Записываем все корни

Итак, у нас есть 4 корня:

1. \(x_1 = 1\)
2. \(x_2 = -5\)
3. \(x_3 = -2 + \sqrt{2}\)
4. \(x_4 = -2 - \sqrt{2}\)

Вот и все решения данного уравнения! Если есть какие-то вопросы или нужно что-то пояснить, пожалуйста, дайте знать!