В цирке шесть ученых ворон одна белая, остальные чёрные. а) Сколько существует способов выбрать одну белую и трёх чёрных ворон? б) Сколько существует способов выбрать четырёх…

Для решения поставленных задач начнем с того, что применим комбинаторные принципы. Определим основные моменты:

У нас есть 6 ворон: 1 белая и 5 черных.

а) Сколько существует способов выбрать одну белую и трех черных ворон?

Мы должны выбрать 1 белую ворону (это единственный выбор, так как белая только одна) и 3 черных ворон из 5 доступных черных.

Количество способов выбрать 3 черных ворон из 5 можно найти с помощью сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \(n\) — общее количество элементов (в нашем случае 5 черных ворон),
• \(k\) — количество элементов, которые мы выбираем (то есть 3 черных вороны).

Подставим значения:

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Таким образом, количество способов выбрать 1 белую и 3 черных ворон равно 10.

б) Сколько существует способов выбрать четырех черных ворон?

Теперь мы выбираем 4 черных вороны из 5.

Используем ту же формулу сочетаний:

\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5}{1} = 5 \]

Таким образом, количество способов выбрать 4 черных ворон равно 5.

в) Сколько всего есть способов выбрать четырех ворон?

Теперь у нас есть 6 ворон, из которых мы можем выбрать 4. Это включает в себя как белую, так и черных ворон:

\[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]

Таким образом, общее количество способов выбрать 4 вороны составляет 15.

г) Как связаны три числа, полученные при решении заданий а), б) и в)?

Мы получили следующие результаты:

• а) 10 способов (одна белая и три черных).
• б) 5 способов (четыре черных).
• в) 15 способов (четыре ворон).

Теперь рассмотрим взаимосвязь между ними. Всего есть 15 способов выбрать 4 вороны, и это число включает как варианты выбора 4 черных ворон, так и варианты, в которых мы выбираем белую и 3 черных. Мы можем записать это так:

\[ \text{Общее количество способов выбрать 4 вороны} = (\text{Способы выбрать 1 белую и 3 черных}) + (\text{Способы выбрать 4 черных}) \]

То есть:

\[ 15 = 10 + 5 \]

Таким образом, возможные комбинации связаны следующим образом: общее число способов выбрать 4 вороны является суммой способов выбора одной белой и трех черных и выбора четырех черных.