Для решения поставленных задач начнем с того, что применим комбинаторные принципы. Определим основные моменты:
У нас есть 6 ворон: 1 белая и 5 черных.
а) Сколько существует способов выбрать одну белую и трех черных ворон?
Мы должны выбрать 1 белую ворону (это единственный выбор, так как белая только одна) и 3 черных ворон из 5 доступных черных.
Количество способов выбрать 3 черных ворон из 5 можно найти с помощью сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- (n) — общее количество элементов (в нашем случае 5 черных ворон),
- (k) — количество элементов, которые мы выбираем (то есть 3 черных вороны).
Подставим значения:
[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
]
Таким образом, количество способов выбрать 1 белую и 3 черных ворон равно 10.
б) Сколько существует способов выбрать четырех черных ворон?
Теперь мы выбираем 4 черных вороны из 5.
Используем ту же формулу сочетаний:
[
C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5}{1} = 5
]
Таким образом, количество способов выбрать 4 черных ворон равно 5.
в) Сколько всего есть способов выбрать четырех ворон?
Теперь у нас есть 6 ворон, из которых мы можем выбрать 4. Это включает в себя как белую, так и черных ворон:
[
C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
]
Таким образом, общее количество способов выбрать 4 вороны составляет 15.
г) Как связаны три числа, полученные при решении заданий а), б) и в)?
Мы получили следующие результаты:
- а) 10 способов (одна белая и три черных).
- б) 5 способов (четыре черных).
- в) 15 способов (четыре ворон).
Теперь рассмотрим взаимосвязь между ними. Всего есть 15 способов выбрать 4 вороны, и это число включает как варианты выбора 4 черных ворон, так и варианты, в которых мы выбираем белую и 3 черных. Мы можем записать это так:
[
\text{Общее количество способов выбрать 4 вороны} = (\text{Способы выбрать 1 белую и 3 черных}) + (\text{Способы выбрать 4 черных})
]
То есть:
[
15 = 10 + 5
]
Таким образом, возможные комбинации связаны следующим образом: общее число способов выбрать 4 вороны является суммой способов выбора одной белой и трех черных и выбора четырех черных.
