На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Поскольку задача касается вероятности, давайте разберем её пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть прямоугольник \(ABCD\), и точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) — это середины его сторон. Мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри всего прямоугольника принадлежит четырёхугольнику \(AMCD\).

Шаг 2: Определение координат

Прямоугольник \(ABCD\) можно представить в координатной системе следующим образом:

• \(A(0, 0)\)
• \(B(a, 0)\)
• \(C(a, b)\)
• \(D(0, b)\)

где \(a\) — длина, а \(b\) — ширина прямоугольника.

Поскольку \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) — середины сторон:

• \(K\) — середина \(AB\) на координате \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
• \(L\) — середина \(BC\) на координате \(\left(a, \frac{b}{2}\right)\)
• \(M\) — середина \(CD\) на координате \(\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
• \(N\) — середина \(DA\) на координате \(\left(0, \frac{b}{2}\right)\)

Шаг 3: Определение площади прямоугольника и четырёхугольника

1. Площадь прямоугольника \(ABCD\): \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]

2. Определение площади четырёхугольника \(AMCD\). Четырёхугольник составляют точки \(A\), \(M\), \(C\), \(D\):

   • Точки \(A(0, 0)\), \(M\left(\frac{a}{2}, b\right)\), \(C(a, b)\), и \(D(0, b)\).
   • Чтобы найти площадь \(AMCD\), будем использовать формулу для площади многоугольника по координатам: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \] Подставляем координаты: \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot b + 0 \cdot 0 - (0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot 0 + 0 \cdot 0) \right| \] Упрощаем: \[ = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{ab}{2} + ab + 0 - (0 + ab + 0 + 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} \right| = \frac{ab}{4} \]

Шаг 4: Вероятность

Теперь можно вычислить вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит четырёхугольнику \(AMCD\): \[ P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет принадлежать четырёхугольнику \(AMCD\), равна \(\frac{1}{4}\) или 25%.