На рисунке изображён прямоугольник
A
B
C
D
ABCD. Точки
K
K,
L
L,
M
M,
N
N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику
A
M
C
D
AMCD.
Поскольку задача касается вероятности, давайте разберем её пошагово.
### Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть прямоугольник \(ABCD\), и точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) — это середины его сторон. Мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри всего прямоугольника принадлежит четырёхугольнику \(AMCD\).
### Шаг 2: Определение координат
Прямоугольник \(ABCD\) можно представить в координатной системе следующим образом:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(a, b)\)
- \(D(0, b)\)
где \(a\) — длина, а \(b\) — ширина прямоугольника.
Поскольку \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) — середины сторон:
- \(K\) — середина \(AB\) на координате \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
- \(L\) — середина \(BC\) на координате \(\left(a, \frac{b}{2}\right)\)
- \(M\) — середина \(CD\) на координате \(\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
- \(N\) — середина \(DA\) на координате \(\left(0, \frac{b}{2}\right)\)
### Шаг 3: Определение площади прямоугольника и четырёхугольника
1. **Площадь прямоугольника \(ABCD\)**:
\[
S_{ABCD} = a \cdot b
\]
2. **Определение площади четырёхугольника \(AMCD\)**. Четырёхугольник составляют точки \(A\), \(M\), \(C\), \(D\):
- Точки \(A(0, 0)\), \(M\left(\frac{a}{2}, b\right)\), \(C(a, b)\), и \(D(0, b)\).
- Чтобы найти площадь \(AMCD\), будем использовать формулу для площади многоугольника по координатам:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
\]
Подставляем координаты:
\[
S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot b + 0 \cdot 0 - (0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot 0 + 0 \cdot 0) \right|
\]
Упрощаем:
\[
= \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{ab}{2} + ab + 0 - (0 + ab + 0 + 0) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} \right| = \frac{ab}{4}
\]
### Шаг 4: Вероятность
Теперь можно вычислить вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит четырёхугольнику \(AMCD\):
\[
P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4}
\]
### Ответ
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет принадлежать четырёхугольнику \(AMCD\), равна \(\frac{1}{4}\) или 25%.
