Y=(x^2-1)/(x-1) является ли данная функция непрерывной в точке x 0 ? В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва. Построить график в окрестности точек разрыва схематично

Чтобы определить, является ли функция \( Y = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) непрерывной в точке \( x = 0 \), давайте разберемся с формулой функции и найдем ее поведение в этой точке. ### Шаг 1: Проверка на непрерывность Функция \( Y \) будет непрерывной в точке \( x = 0 \), если выполняются следующие условия: 1. Функция определена в точке \( x = 0 \). 2. Существует предел функции при \( x \) стремящемся к \( 0 \). 3. Предел функции равен значению функции в данной точке, то есть \( \lim_{x \to 0} Y(x) = Y(0) \). ### Шаг 2: Проверка определения функции в точке \( x = 0 \) Подставим значение \( x = 0 \) в функцию: \[ Y(0) = \frac{0^2 - 1}{0 - 1} = \frac{-1}{-1} = 1 \] Функция определена в точке \( x = 0 \) и \( Y(0) = 1 \). ### Шаг 3: Вычисление предела функции при \( x \) стремящемся к \( 0 \) Теперь найдем предел функции \( Y \) при \( x \to 0 \): \[ \lim_{x \to 0} Y = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \] Однако, прежде чем подставлять \( x = 0 \) прямо, давайте упростим выражение. Мы можем сделать это, заметив, что \( x^2 - 1 \) можно разложить: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] Таким образом, подставляем в нашу функцию: \[ Y = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \] Для \( x \neq 1 \), эта функция упрощается: \[ Y = x + 1 \] Но мы должны учитывать, что в точке \( x = 1 \) исходная функция не определена. Тем не менее, для всех остальных значений, включая \( x = 0 \): \[ Y(0) = 1 \] Теперь можем найти предел: \[ \lim_{x \to 0} (x + 1) = 0 + 1 = 1 \] ### Шаг 4: Сравнение предела и значения функции Так как: \[ \lim_{x \to 0} Y(x) = 1 = Y(0) \] Это означает, что функция непрерывна в точке \( x = 0 \). ### Шаг 5: Характер точки разрыва Поскольку мы проверили, что функция непрерывна в точке \( x = 0 \), никаких разрывов в этой точке нет. Однако стоит отметить, что в функции есть точка разрыва в \( x = 1 \), так как там функция не определена. Этот разрыв является разрывом первого рода (или разрывом “вырождения”), так как предел существует, но значение функции в этой точке отсутствует. ### Шаг 6: График функции Теперь, чтобы схематично построить график в окрестности точки разрыва, мы можем нарисовать линию \( Y = x + 1 \) и отметить, что в точке \( x = 1 \) есть разрыв. **График:** - Функция будет представлять собой линию с угловым коэффициентом 1, проходящую через точку (0, 1). - В точке (1, 2) можно схематически отметить разрыв. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задачу! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.