Y=(x^2-1)/(x-1) является ли данная функция непрерывной в точке x 0 ? В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва. Построить график в окрестности точек…

Чтобы определить, является ли функция \( Y = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) непрерывной в точке \( x = 0 \), давайте разберемся с формулой функции и найдем ее поведение в этой точке.

Шаг 1: Проверка на непрерывность

Функция \( Y \) будет непрерывной в точке \( x = 0 \), если выполняются следующие условия:

1. Функция определена в точке \( x = 0 \).
2. Существует предел функции при \( x \) стремящемся к \( 0 \).
3. Предел функции равен значению функции в данной точке, то есть \( \lim_{x \to 0} Y(x) = Y(0) \).

Шаг 2: Проверка определения функции в точке \( x = 0 \)

Подставим значение \( x = 0 \) в функцию:

\[ Y(0) = \frac{0^2 - 1}{0 - 1} = \frac{-1}{-1} = 1 \]

Функция определена в точке \( x = 0 \) и \( Y(0) = 1 \).

Шаг 3: Вычисление предела функции при \( x \) стремящемся к \( 0 \)

Теперь найдем предел функции \( Y \) при \( x \to 0 \):

\[ \lim_{x \to 0} Y = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]

Однако, прежде чем подставлять \( x = 0 \) прямо, давайте упростим выражение. Мы можем сделать это, заметив, что \( x^2 - 1 \) можно разложить:

\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]

Таким образом, подставляем в нашу функцию:

\[ Y = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \]

Для \( x \neq 1 \), эта функция упрощается:

\[ Y = x + 1 \]

Но мы должны учитывать, что в точке \( x = 1 \) исходная функция не определена. Тем не менее, для всех остальных значений, включая \( x = 0 \):

\[ Y(0) = 1 \]

Теперь можем найти предел:

\[ \lim_{x \to 0} (x + 1) = 0 + 1 = 1 \]

Шаг 4: Сравнение предела и значения функции

Так как:

\[ \lim_{x \to 0} Y(x) = 1 = Y(0) \]

Это означает, что функция непрерывна в точке \( x = 0 \).

Шаг 5: Характер точки разрыва

Поскольку мы проверили, что функция непрерывна в точке \( x = 0 \), никаких разрывов в этой точке нет.

Однако стоит отметить, что в функции есть точка разрыва в \( x = 1 \), так как там функция не определена. Этот разрыв является разрывом первого рода (или разрывом “вырождения”), так как предел существует, но значение функции в этой точке отсутствует.

Шаг 6: График функции

Теперь, чтобы схематично построить график в окрестности точки разрыва, мы можем нарисовать линию \( Y = x + 1 \) и отметить, что в точке \( x = 1 \) есть разрыв.

График:

• Функция будет представлять собой линию с угловым коэффициентом 1, проходящую через точку (0, 1).
• В точке (1, 2) можно схематически отметить разрыв.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задачу! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.