Чтобы понять, является ли функция ( y = 1 + \frac{2^1}{x} ) непрерывной в точке ( x = 0 ), мы сначала должны выяснить, что происходит с функцией в этой точке.
Шаг 1: Подставим ( x = 0 )
Подставим ( x = 0 ) в выражение:
[
y = 1 + \frac{2^1}{0}
]
Здесь мы сталкиваемся с делением на ноль, что недопустимо в математике. Это говорит о том, что ( y ) не определен в точке ( x = 0 ).
Шаг 2: Проверка предельного значения функции
Чтобы понять, как ведет себя функция в окрестности ( x = 0 ), мы можем найти предел функции при ( x ) стремящемся к ( 0 ):
[
\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)
]
Здесь мы можем рассмотреть предел справа и слева:
- Когда ( x ) стремится к ( 0^+ ) (с положительной стороны):
[
\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{x} \to +\infty \implies \lim_{x \to 0^+} y = +\infty
]
- Когда ( x ) стремится к ( 0^- ) (с отрицательной стороны):
[
\lim_{x \to 0^-} \frac{2}{x} \to -\infty \implies \lim_{x \to 0^-} y = -\infty
]
Шаг 3: Анализ непрерывности
Так как предел от функции ( y ) при подходе к нулю с разных сторон (положительной и отрицательной) не совпадает, это указывает на то, что функция разрывается в точке ( x = 0 ).
Шаг 4: Характер точки разрыва
Поскольку:
- (\lim_{x \to 0^+} y = +\infty)
- (\lim_{x \to 0^-} y = -\infty)
Это означает, что точка ( x = 0 ) является точкой разрыва первого рода (или бесконечная разрывная точка).
Шаг 5: Построение графика
График функции будет выглядеть следующим образом:
- Для ( x > 0 ) линия функции будет стремиться к ( +\infty ), когда ( x ) приближается к нулю.
- Для ( x < 0 ) линия функции будет стремиться к ( -\infty ), когда ( x ) приближается к нулю.
Схематично, график функции будет выглядеть как две ветви, одна направляющаяся вверх и другая вниз, с разрывом в точке ( x = 0 ):
| /
| /
| /
------ | --------
| /
|
|
Заключение
Таким образом, функция ( y = 1 + \frac{2}{x} ) не является непрерывной в точке ( x = 0 ), и эта точка является точкой разрыва первого рода, а именно — бесконечной.
