y=1+2^1/x. является ли данная функция непрерывной в точке x 0 ? В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва. Построить график в окрестности точек разрыва…

Чтобы понять, является ли функция \( y = 1 + \frac{2^1}{x} \) непрерывной в точке \( x = 0 \), мы сначала должны выяснить, что происходит с функцией в этой точке.

Шаг 1: Подставим \( x = 0 \)

Подставим \( x = 0 \) в выражение:

\[ y = 1 + \frac{2^1}{0} \]

Здесь мы сталкиваемся с делением на ноль, что недопустимо в математике. Это говорит о том, что \( y \) не определен в точке \( x = 0 \).

Шаг 2: Проверка предельного значения функции

Чтобы понять, как ведет себя функция в окрестности \( x = 0 \), мы можем найти предел функции при \( x \) стремящемся к \( 0 \):

\[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{2}{x} \right) \]

Здесь мы можем рассмотреть предел справа и слева:

• Когда \( x \) стремится к \( 0^+ \) (с положительной стороны):

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{x} \to +\infty \implies \lim_{x \to 0^+} y = +\infty \]

• Когда \( x \) стремится к \( 0^- \) (с отрицательной стороны):

\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{2}{x} \to -\infty \implies \lim_{x \to 0^-} y = -\infty \]

Шаг 3: Анализ непрерывности

Так как предел от функции \( y \) при подходе к нулю с разных сторон (положительной и отрицательной) не совпадает, это указывает на то, что функция разрывается в точке \( x = 0 \).

Шаг 4: Характер точки разрыва

Поскольку:

• \(\lim_{x \to 0^+} y = +\infty\)
• \(\lim_{x \to 0^-} y = -\infty\)

Это означает, что точка \( x = 0 \) является точкой разрыва первого рода (или бесконечная разрывная точка).

Шаг 5: Построение графика

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Для \( x > 0 \) линия функции будет стремиться к \( +\infty \), когда \( x \) приближается к нулю.
• Для \( x < 0 \) линия функции будет стремиться к \( -\infty \), когда \( x \) приближается к нулю.

Схематично, график функции будет выглядеть как две ветви, одна направляющаяся вверх и другая вниз, с разрывом в точке \( x = 0 \):

      |     /
      |    /
      |   /
------ |  --------
      | /
      |
      |

Заключение

Таким образом, функция \( y = 1 + \frac{2}{x} \) не является непрерывной в точке \( x = 0 \), и эта точка является точкой разрыва первого рода, а именно — бесконечной.