Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите скалярное произведение векторов:
a) AD и A1B1
б) B1C и D1D
в) C1B и C1D
Для того чтобы найти скалярное произведение векторов, начнем с описания куба ABCDA1B1C1D1.
Предположим, что куб расположен в пространстве с координатной системой следующим образом:
- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(1, 0, 0)\)
- \(C(1, 1, 0)\)
- \(D(0, 1, 0)\)
- \(A1(0, 0, 1)\)
- \(B1(1, 0, 1)\)
- \(C1(1, 1, 1)\)
- \(D1(0, 1, 1)\)
Теперь определим векторы, которые мы будем рассматривать.
### a) Векторы \(AD\) и \(A1B1\)
1. **Вектор \(AD\):**
\[
AD = D - A = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0)
\]
2. **Вектор \(A1B1\):**
\[
A1B1 = B1 - A1 = (1, 0, 1) - (0, 0, 1) = (1, 0, 0)
\]
3. **Скалярное произведение \(AD\) и \(A1B1\):**
\[
AD \cdot A1B1 = (0, 1, 0) \cdot (1, 0, 0) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0
\]
### б) Векторы \(B1C\) и \(D1D\)
1. **Вектор \(B1C\):**
\[
B1C = C - B1 = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1)
\]
2. **Вектор \(D1D\):**
\[
D1D = D - D1 = (0, 1, 0) - (0, 1, 1) = (0, 0, -1)
\]
3. **Скалярное произведение \(B1C\) и \(D1D\):**
\[
B1C \cdot D1D = (0, 1, -1) \cdot (0, 0, -1) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 1
\]
### в) Векторы \(C1B\) и \(C1D\)
1. **Вектор \(C1B\):**
\[
C1B = B - C1 = (1, 0, 0) - (1, 1, 1) = (0, -1, -1)
\]
2. **Вектор \(C1D\):**
\[
C1D = D - C1 = (0, 1, 0) - (1, 1, 1) = (-1, 0, -1)
\]
3. **Скалярное произведение \(C1B\) и \(C1D\):**
\[
C1B \cdot C1D = (0, -1, -1) \cdot (-1, 0, -1) = 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 1
\]
### Результаты:
- a) \(AD \cdot A1B1 = 0\)
- б) \(B1C \cdot D1D = 1\)
- в) \(C1B \cdot C1D = 1\)
Эти результаты показывают, что вектора \(AD\) и \(A1B1\) перпендикулярны (скалярное произведение равно нулю), тогда как остальные пары векторов \(B1C\) и \(D1D\), \(C1B\) и \(C1D\) имеют положительные значения скалярного произведения, что говорит о том, что они не перпендикулярны и имеют некоторый угол между собой.
