Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите скалярное произведение векторов: a) AD и A1B1 б) B1C и D1D в) C1B и C1D

Для того чтобы найти скалярное произведение векторов, начнем с описания куба ABCDA1B1C1D1.

Предположим, что куб расположен в пространстве с координатной системой следующим образом:

• \(A(0, 0, 0)\)
• \(B(1, 0, 0)\)
• \(C(1, 1, 0)\)
• \(D(0, 1, 0)\)
• \(A1(0, 0, 1)\)
• \(B1(1, 0, 1)\)
• \(C1(1, 1, 1)\)
• \(D1(0, 1, 1)\)

Теперь определим векторы, которые мы будем рассматривать.

a) Векторы \(AD\) и \(A1B1\)

1. Вектор \(AD\): \[ AD = D - A = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0) \]

2. Вектор \(A1B1\): \[ A1B1 = B1 - A1 = (1, 0, 1) - (0, 0, 1) = (1, 0, 0) \]

3. Скалярное произведение \(AD\) и \(A1B1\): \[ AD \cdot A1B1 = (0, 1, 0) \cdot (1, 0, 0) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0 \]

б) Векторы \(B1C\) и \(D1D\)

1. Вектор \(B1C\): \[ B1C = C - B1 = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1) \]

2. Вектор \(D1D\): \[ D1D = D - D1 = (0, 1, 0) - (0, 1, 1) = (0, 0, -1) \]

3. Скалярное произведение \(B1C\) и \(D1D\): \[ B1C \cdot D1D = (0, 1, -1) \cdot (0, 0, -1) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 1 \]

в) Векторы \(C1B\) и \(C1D\)

1. Вектор \(C1B\): \[ C1B = B - C1 = (1, 0, 0) - (1, 1, 1) = (0, -1, -1) \]

2. Вектор \(C1D\): \[ C1D = D - C1 = (0, 1, 0) - (1, 1, 1) = (-1, 0, -1) \]

3. Скалярное произведение \(C1B\) и \(C1D\): \[ C1B \cdot C1D = (0, -1, -1) \cdot (-1, 0, -1) = 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 1 \]

Результаты:

• a) \(AD \cdot A1B1 = 0\)
• б) \(B1C \cdot D1D = 1\)
• в) \(C1B \cdot C1D = 1\)

Эти результаты показывают, что вектора \(AD\) и \(A1B1\) перпендикулярны (скалярное произведение равно нулю), тогда как остальные пары векторов \(B1C\) и \(D1D\), \(C1B\) и \(C1D\) имеют положительные значения скалярного произведения, что говорит о том, что они не перпендикулярны и имеют некоторый угол между собой.