Какова вероятность равенства р≈m/n с точностью 0,1 при 100 опытах?

Чтобы понять задачу о вероятности равенства \( p \approx \frac{m}{n} \) с точностью 0.1 при 100 опытах, давайте разберем ее пошагово.

Шаг 1: Определяем понятия

• \( p \) — это истинная вероятность события, которое мы рассматриваем.
• \( m \) — количество успешных исходов (например, количество раз, когда событие произошло).
• \( n \) — общее количество испытаний (в данном случае \( n = 100 \)).

Шаг 2: Что значит \( p \approx \frac{m}{n} \) с точностью 0.1?

Выражение \( p \approx \frac{m}{n} \) означает, что мы хотим, чтобы отношение успешных исходов к общему количеству испытаний было близким к истинной вероятности \( p \) с допустимым отклонением не более 0.1. То есть:

\[ p - 0.1 < \frac{m}{n} < p + 0.1 \]

Шаг 3: Применение центральной предельной теоремы

При большом количестве испытаний (например, 100) и если события независимы, распределение \( m \) будет следовать нормальному распределению по центральной предельной теореме. Мы можем использовать нормальное приближение.

Шаг 4: Определение границ

Поскольку мы хотим, чтобы \( \frac{m}{100} \) находилось в пределах \( (p - 0.1, p + 0.1) \), это можно переписать в терминах \( m \):

\[ 100(p - 0.1) < m < 100(p + 0.1) \]

Шаг 5: Вычисление вероятностей

Для оценок вероятности, что \( m \) попадет в указанный диапазон, можно использовать нормальное распределение, где:

• Среднее \(\mu = 100p\)
• Дисперсия \(\sigma^2 = 100p(1-p)\)
• Стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{100p(1-p)}\)

Используя стандартизацию, можно вычислить:

\[ Z = \frac{m - \mu}{\sigma} \]

Шаг 6: Применение стандартного нормального распределения

После нахождения Z-значений для границ \( 100(p - 0.1) \) и \( 100(p + 0.1) \) по формуле выше, можно найти соответствующие вероятности при помощи таблицы Z или распределения.

Шаг 7: Итоговая вероятность

Наконец, вероятность того, что \( \frac{m}{n} \) (или \( \frac{m}{100} \)) находится в заданных границах, можно вычислить как разность соответствующих вероятностей из таблицы Z.

Таким образом, зная истинное значение \( p \), можно находить нужную вероятность. Если \( p \) неизвестно, вероятности будут зависеть от его предположительных значений.

Заключение

Таким образом, чтобы вычислить вероятность \( p \approx \frac{m}{n} \) с заданной точностью, необходимо применить концепцию нормального распределения и использовать стандартные методы статистики.