Какова вероятность равенства р≈m/n с точностью 0,1 при 100 опытах? Чтобы получилось 0,75

Чтобы понять, какова вероятность того, что р≈m/n с заданной точностью, давайте разберёмся с обозначениями и условиями задачи.

Здесь:

• \( p \) — истинная вероятность события.
• \( m \) — количество успехов в \( n \) испытаниях (опытах).
• \( n \) — общее количество испытаний.

Мы хотим найти вероятность того, что \(|p - \frac{m}{n}| < 0,1\) при \( n = 100 \).

Шаг 1: Определение параметров

Пусть \( p \) — вероятности удачного исхода испытания (например, вероятность получения "орла" при подбрасывании монеты). В данной задаче мы ищем, когда оценка \( \frac{m}{n} \) (доля успешных испытаний) лежит в пределах ±0.1 от истинного значения \( p \).

Шаг 2: Применение центральной предельной теоремы

При достаточно большом \( n \), распределение \( m \) (количество успешных событий) будет приближаться к нормальному распределению.

• Ожидаемое значение \( E(m) = n \cdot p \).
• Дисперсия \( D(m) = n \cdot p \cdot (1 - p) \).

Так как мы рассматриваем 100 испытаний, то:

\[ E(m) = 100p \] \[ D(m) = 100 \cdot p \cdot (1-p) \]

Шаг 3: Применение нормального распределения

Мы ищем вероятность того, что:

\[ p - 0.1 < \frac{m}{n} < p + 0.1 \]

Перепишем это в терминах \( m \):

\[ 100(p - 0.1) < m < 100(p + 0.1) \]

Шаг 4: Нормирование и расчёт вероятности

Нормализуем \( m \):

\[ Z = \frac{m - E(m)}{\sqrt{D(m)}} = \frac{m - 100p}{\sqrt{100p(1-p)}} \]

Теперь можем рассмотреть, при каких значениях \( Z \) будет выполнено наше неравенство:

\[ P\left( \frac{100(p - 0.1) - 100p}{\sqrt{100p(1-p)}} < Z < \frac{100(p + 0.1) - 100p}{\sqrt{100p(1-p)}} \right). \]

Упрощая, можно записать:

\[ P\left( \frac{-10}{\sqrt{100p(1-p)}} < Z < \frac{10}{\sqrt{100p(1-p)}} \right). \]

Шаг 5: Нахождение вероятности

Теперь необходимо использовать стандартные свойства нормального распределения. Чем больше значение m, тем больше вероятность \( P \) близости к \( p \).

На практике для нахождения таких вероятностей можно использовать таблицы стандартного нормального распределения или вычислительные средства. Например, если \( p = 0.5 \):

\[ P\left( |Z| < \frac{10}{\sqrt{25}} \right) = P\left( |Z| < 2 \right). \]

И по таблице стандартного нормального распределения можно найти, что

\[ P(-2 < Z < 2) \approx 0.9545, \]

что предполагает, что вероятность приблизительно \( 0.75 \) будет получена для каких-либо значений \( p \) в пределах.

Шаг 6: Ответ

Таким образом, чтобы получить вероятность равенства \( p \approx \frac{m}{n} \) с точностью 0,1 при 100 испытаниях, необходимо выбрать значение p, при котором расчетная вероятность будет приближаться к 0,75. Показано, что для \( p \) около 0.5, это возможно.

Если у вас есть конкретные значения для p, пожалуйста, уточните, это поможет предоставить более точную вероятность.