Для вычисления внутреннего угла треугольника при вершине A, нам нужно найти векторы, исходящие из точки A к точкам B и C. Затем мы используем скалярное произведение для нахождения угла.
- Находим векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ):
[
\vec{AB} = B - A = (-2, -1, 4) - (-2, -4, 0) = (0, 3, 4)
]
[
\vec{AC} = C - A = (-2, 3, 1) - (-2, -4, 0) = (0, 7, 1)
]
- Теперь вычислим скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} ):
[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot 0 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 1 = 0 + 21 + 4 = 25
]
- Вычислим длины векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ):
[
|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
[
|\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
]
- Используя скалярное произведение, находим косинус угла ( \theta ) между векторами:
[
\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{25}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
]
- Теперь находим угол ( \theta ):
[
\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} \text{ радиан } = 45^\circ
]
Таким образом, внутренний угол при вершине A равен ( 45^\circ ).
