дан треугольник с вершинами A(-2; -4; 0), B(-2; -1; 4); C(-2; 3; 1). Вычислите его внутренний угол при вершине A
Для вычисления внутреннего угла треугольника при вершине A, нам нужно найти векторы, исходящие из точки A к точкам B и C. Затем мы используем скалярное произведение для нахождения угла.
- Находим векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
\[ \vec{AB} = B - A = (-2, -1, 4) - (-2, -4, 0) = (0, 3, 4) \]
\[ \vec{AC} = C - A = (-2, 3, 1) - (-2, -4, 0) = (0, 7, 1) \]
- Теперь вычислим скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \):
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot 0 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 1 = 0 + 21 + 4 = 25 \]
- Вычислим длины векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
- Используя скалярное произведение, находим косинус угла \( \theta \) между векторами:
\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{25}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
- Теперь находим угол \( \theta \):
\[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} \text{ радиан } = 45^\circ \]
Таким образом, внутренний угол при вершине A равен \( 45^\circ \).
