2. Сколько элементарных событий в серии из 10 испытаний Бернулли благоприятствует 4 успехам?

Чтобы решить задачу о количестве элементарных событий в серии из 10 испытаний Бернулли с 4 успехами, нам нужно использовать формулу для биномиальных коэффициентов. Каждое испытание Бернулли имеет два исхода: успех (например, «да») и неудача (например, «нет»).

Шаг 1: Понять, что такое испытания Бернулли

Испытание Бернулли — это эксперимент, который имеет два возможных исхода. В данном случае у нас есть 10 независимых испытаний, и мы хотим найти количество вариантов, где ровно 4 из этих 10 испытаний заканчиваются успехом.

Шаг 2: Использовать биномиальный коэффициент

Количество способов получить определённое количество успехов \( k \) в \( n \) испытаниях определяется формулой биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успехов,
• \( n! \) (факториал \( n \)) — произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \).

Шаг 3: Подставить значения

В нашем случае:

• \( n = 10 \) (число испытаний),
• \( k = 4 \) (число успехов).

Подставим эти значения в формулу:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]

Шаг 4: Вычислить факториалы

Теперь нужно вычислить факториалы функций:

• \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (здесь мы можем сократить с \( 6! \)),
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \).

Таким образом, получим:

\[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} \]

Шаг 5: Вычислить выражение

Теперь посчитаем числитель и знаменатель:

• Числитель: \( 10 \times 9 = 90 \),
• Далее: \( 90 \times 8 = 720 \),
• Далее: \( 720 \times 7 = 5040 \).

Получаем:

\[ C(10, 4) = \frac{5040}{24} = 210 \]

Ответ

Таким образом, количество элементарных событий, благоприятствующих 4 успехам в серии из 10 испытаний Бернулли, равно 210.