Для нахождения косинуса угла ( \angle ABC ) в треугольнике ( ABC ), где известны длины всех сторон, можно воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов выглядит следующим образом:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
где:
- ( c ) — длина стороны, напротив угла ( C ),
- ( a ) и ( b ) — длины других двух сторон,
- ( C ) — угол, который мы хотим найти.
В нашем случае:
- ( AB = c = 2 ),
- ( BC = a = 3 ),
- ( AC = b = 4 ).
Нам нужно найти угол ( \angle ABC ).
Сначала подставим известные значения в формулу:
[
2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(\angle ABC)
]
Теперь вычислим квадрат каждой стороны:
[
4 = 9 + 16 - 24 \cdot \cos(\angle ABC)
]
Сложим и упростим:
[
4 = 25 - 24 \cos(\angle ABC)
]
Теперь перенесем ( 25 ) на другую сторону:
[
4 - 25 = -24 \cos(\angle ABC)
]
[
-21 = -24 \cos(\angle ABC)
]
Теперь избавимся от знака минус:
[
21 = 24 \cos(\angle ABC)
]
И найдем ( \cos(\angle ABC) ):
[
\cos(\angle ABC) = \frac{21}{24}
]
Упростим это дробь:
[
\cos(\angle ABC) = \frac{7}{8}
]
Таким образом, косинус угла ( \angle ABC ) равен ( \frac{7}{8} ).
