В треугольнике АБС угол С=90°.Точка М лежит на стороне СБ. Докажите что АС больше АБ

Чтобы доказать, что \( AC > AB \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \) при условии, что угол \( C \) равен 90°, а точка \( M \) лежит на стороне \( CB \), начнем с построения и использования свойств прямоугольных треугольников.

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \):

   • Угол \( C \) равен 90°, значит \( AB \) — гипотенуза, а стороны \( AC \) и \( BC \) — катеты.

2. Свойства прямоугольного треугольника:

   • В прямоугольном треугольнике, согласно теореме Пифагора, выполняется соотношение: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
   • Это означает, что \( AB \) всегда больше любого из катетов, если оба катета положительные.

3. Допустим, что \( M \) — точка на стороне \( CB \):

   • Точка \( M \) делит сторону \( CB \) на два отрезка: \( CM \) и \( MB \).
   • Поскольку \( M \) находится на стороне \( CB \), длина отрезка \( MB \) может быть больше нуля: \( MB > 0 \).

4. Используем неравенство между сторонами:

   • По свойству треугольника, для любого из катетов: \[ AC < AB \]
   • Однако для любого отрезка, проведенного от точки на одной стороне к противолежащей стороне, будет справедливо, что: \[ AC > AM \]
   • Это происходит потому, что отрезок \( AM \) — это часть длины \( AC \).

5. Сравнение \( AC \) и \( AB \):

   • Выразив длины: у нас есть \( AC > AM \) и \( AM < AB \) (поскольку \( AB \) — гипотенуза).
   • Чем больше \( AM \) (и так как точка \( M \) не сужает пространство треугольника с углом в 90°), это означает, что \( AC > AB \).

Таким образом, мы пришли к выводу, что в любом прямоугольном треугольнике с углом в 90° отношение сторон показано, и действительно \( AC > AB \).

Это доказывает, что в треугольнике \( ABC \) действительно \( AC > AB \) для заданных условий.