Найдите sina, tga и ctga, если cosa = 2/3

Чтобы найти значения \( \sin a \), \( \tan a \) и \( \cot a \) при данном \( \cos a = \frac{2}{3} \), мы можем использовать основные тригонометрические соотношения и одно из основных свойств тригонометрии. ### Шаг 1: Найдем \( \sin a \) Мы используем основное тригонометрическое соотношение: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим известное значение \( \cos a \): \[ \sin^2 a + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{4}{9} = 1 \] Теперь вычтем \( \frac{4}{9} \) из 1: \[ \sin^2 a = 1 - \frac{4}{9} \] Преобразуем 1 в дробное: \[ 1 = \frac{9}{9} \Rightarrow \sin^2 a = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] Теперь извлечем корень из обеих сторон, не забывая про два возможных значения (положительное и отрицательное): \[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \] ### Шаг 2: Найдем \( \tan a \) Зная \( \sin a \) и \( \cos a \), мы можем найти \( \tan a \): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \] Подставим значения: \[ \tan a = \frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \] ### Шаг 3: Найдем \( \cot a \) Котангенс – это обратная величина тангенса: \[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a} \] Подставляем полученные значения: \[ \cot a = \frac{\frac{2}{3}}{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \] Чтобы привести к более удобному виду, можно умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \): \[ \cot a = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} \] ### Итог Таким образом, мы получили следующие значения: - \( \sin a = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \) - \( \tan a = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \) - \( \cot a = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} \) Знак для каждого результата зависит от четверти, в которой находится угол \( a \).