Найдите sina, tga и ctga, если cosa = 2/3

Чтобы найти значения \( \sin a \), \( \tan a \) и \( \cot a \) при данном \( \cos a = \frac{2}{3} \), мы можем использовать основные тригонометрические соотношения и одно из основных свойств тригонометрии.

Шаг 1: Найдем \( \sin a \)

Мы используем основное тригонометрическое соотношение:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Подставим известное значение \( \cos a \):

\[ \sin^2 a + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{4}{9} = 1 \]

Теперь вычтем \( \frac{4}{9} \) из 1:

\[ \sin^2 a = 1 - \frac{4}{9} \]

Преобразуем 1 в дробное:

\[ 1 = \frac{9}{9} \Rightarrow \sin^2 a = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]

Теперь извлечем корень из обеих сторон, не забывая про два возможных значения (положительное и отрицательное):

\[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Шаг 2: Найдем \( \tan a \)

Зная \( \sin a \) и \( \cos a \), мы можем найти \( \tan a \):

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

Подставим значения:

\[ \tan a = \frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \]

Шаг 3: Найдем \( \cot a \)

Котангенс – это обратная величина тангенса:

\[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a} \]

Подставляем полученные значения:

\[ \cot a = \frac{\frac{2}{3}}{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Чтобы привести к более удобному виду, можно умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \):

\[ \cot a = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} \]

Итог

Таким образом, мы получили следующие значения:

• \( \sin a = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \)
• \( \tan a = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \)
• \( \cot a = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

Знак для каждого результата зависит от четверти, в которой находится угол \( a \).