Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 8.1 см найдите меньший катет этого прямоугольного треугольника
Для решения задачи начнём с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один угол равен 60°. Обозначим:
- Гипотенуза — \( c \)
- Меньший катет (катет, который противолежит углу в 60°) — \( a \)
- Другой катет (катет, который противолежит углу в 30°) — \( b \)
Исходя из информации, нам известно, что сумма гипотенузы \( c \) и меньшего катета \( a \) равна 8.1 см, то есть:
\[ c + a = 8.1 \, \text{см} \tag{1} \]
Также мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. В треугольнике с углом 60° стороны соотносятся по следующему правилам:
- Гипотенуза \( c \) противопоставляется углу 90°.
- Меньший катет \( a \) противолежит углу 60°.
- Другой катет \( b \) противолежит углу 30°.
Для треугольника \( 30°-60°-90° \), соотношения сторон можно выразить следующим образом:
\[ a = \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} \tag{2} \] \[ b = \frac{c}{2} \tag{3} \]
Теперь подставим(2) в(1):
\[ c + \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} = 8.1 \]
Соберём это в одно уравнение:
\[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 8.1 \]
Теперь решим это уравнение. Для более удобного вычисления совместим 1 с дробной частью:
\[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]
Теперь у нас есть:
\[ c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 8.1 \]
Умножим обе части на 2:
\[ c(2 + \sqrt{3}) = 16.2 \]
Теперь найдём \( c \):
\[ c = \frac{16.2}{2 + \sqrt{3}} \tag{4} \]
Теперь подставим значение \( c \) обратно в уравнение (2) для поиска меньшего катета \( a \):
\[ a = \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} \]
Теперь, чтобы найти \( a \), нам нужно знать \( c \). Вычислим \( c \):
- Сначала найдём численное значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \):
Итак,
\[ c \approx \frac{16.2}{2 + 1.732} \approx \frac{16.2}{3.732} \approx 4.34 \, \text{см} \]
Теперь подставим \( c \) обратно в (2):
\[ a = \frac{4.34 \cdot 1.732}{2} \approx \frac{7.52}{2} \approx 3.76 \, \text{см} \]
Таким образом, меньший катет равен приблизительно:
\[ \boxed{3.76} \, \text{см} \]
