Для решения задачи начнём с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один угол равен 60°. Обозначим:
- Гипотенуза — ( c )
- Меньший катет (катет, который противолежит углу в 60°) — ( a )
- Другой катет (катет, который противолежит углу в 30°) — ( b )
Исходя из информации, нам известно, что сумма гипотенузы ( c ) и меньшего катета ( a ) равна 8.1 см, то есть:
[ c + a = 8.1 , \text{см} \tag{1} ]
Также мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. В треугольнике с углом 60° стороны соотносятся по следующему правилам:
- Гипотенуза ( c ) противопоставляется углу 90°.
- Меньший катет ( a ) противолежит углу 60°.
- Другой катет ( b ) противолежит углу 30°.
Для треугольника ( 30°-60°-90° ), соотношения сторон можно выразить следующим образом:
[
a = \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} \tag{2}
]
[
b = \frac{c}{2} \tag{3}
]
Теперь подставим(2) в(1):
[ c + \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} = 8.1 ]
Соберём это в одно уравнение:
[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 8.1 ]
Теперь решим это уравнение. Для более удобного вычисления совместим 1 с дробной частью:
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
]
Теперь у нас есть:
[
c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 8.1
]
Умножим обе части на 2:
[ c(2 + \sqrt{3}) = 16.2 ]
Теперь найдём ( c ):
[
c = \frac{16.2}{2 + \sqrt{3}} \tag{4}
]
Теперь подставим значение ( c ) обратно в уравнение (2) для поиска меньшего катета ( a ):
[
a = \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2}
]
Теперь, чтобы найти ( a ), нам нужно знать ( c ). Вычислим ( c ):
- Сначала найдём численное значение ( \sqrt{3} \approx 1.732 ):
Итак,
[
c \approx \frac{16.2}{2 + 1.732} \approx \frac{16.2}{3.732} \approx 4.34 , \text{см}
]
Теперь подставим ( c ) обратно в (2):
[
a = \frac{4.34 \cdot 1.732}{2} \approx \frac{7.52}{2} \approx 3.76 , \text{см}
]
Таким образом, меньший катет равен приблизительно:
[
\boxed{3.76} , \text{см}
]
