Апофема правильной треугольной пирамиды 15 см сторона основания 10 площадь поверхности

Чтобы найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно учитывать площадь её основания и площадь боковых граней. Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Шаг 1: Площадь основания Основание пирамиды — это правильный треугольник. Формула для вычисления площади правильного треугольника с длиной стороны \( a \) выглядит так: \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] В данном случае сторона основания \( a = 10 \) см. \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (10)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25\sqrt{3} \text{ см}^2 \] ### Шаг 2: Площадь боковых граней У правильной треугольной пирамиды есть три боковые грани, каждая из которых является равнобедренным треугольником. Для нахождения площади боковой грани нам нужна высота этого треугольника. #### Высота боковой грани Вершина боковой грани от основания пирамиды (апофема) составляет 15 см. Чтобы найти высоту боковой грани, используем теорему Пифагора. Высота правильного треугольника (граня) идёт от вершины до середины основания (половина стороны основания). Длина половины стороны основания: \[ h_{\text{осн}} = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \] Теперь мы используем теорему Пифагора, чтобы найти высоту боковой грани \( h_{\text{бок}} \): \[ h_{\text{бок}}^2 + h_{\text{осн}}^2 = \text{апофема}^2 \] \[ h_{\text{бок}}^2 + 5^2 = 15^2 \] \[ h_{\text{бок}}^2 + 25 = 225 \] \[ h_{\text{бок}}^2 = 225 - 25 = 200 \] \[ h_{\text{бок}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ см} \] #### Площадь одной боковой грани Теперь можем вычислить площадь одной боковой грани: \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота боковой грани} \] \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{2} = 50\sqrt{2} \text{ см}^2 \] ### Шаг 3: Площадь всех боковых граней Поскольку у пирамиды три боковые грани: \[ S_{\text{бок. все}} = 3 \cdot S_{\text{бок}} = 3 \cdot 50\sqrt{2} = 150\sqrt{2} \text{ см}^2 \] ### Шаг 4: Полная площадь поверхности Теперь складываем площадь основания и площадь всех боковых граней: \[ S_{\text{поверх}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок. все}} = 25\sqrt{3} + 150\sqrt{2} \text{ см}^2 \] ### Ответ Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной пирамиды составляет: \[ S_{\text{поверх}} = 25\sqrt{3} + 150\sqrt{2} \text{ см}^2 \] Это и есть окончательный ответ на вашу задачу!