Решите методом интервалов неравенство: (х-7)(3х+11)(2х-5)>0
Для решения неравенства \((x - 7)(3x + 11)(2x - 5) > 0\) методом интервалов, следуем шаг за шагом:
Шаг 1: Найдем корни уравнения
Сначала найдем значения \(x\), при которых произведение равно нулю — это точки, где каждый из множителей равен нулю:
- \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\)
- \(3x + 11 = 0 \Rightarrow 3x = -11 \Rightarrow x = -\frac{11}{3}\)
- \(2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\)
Таким образом, у нас есть три корня:
- \(x_1 = -\frac{11}{3} \approx -3.67\)
- \(x_2 = \frac{5}{2} = 2.5\)
- \(x_3 = 7\)
Шаг 2: Определим интервалы
Теперь, используя эти корни, разбиваем числовую прямую на интервалы:
- \((-\infty, -\frac{11}{3})\)
- \((- \frac{11}{3}, \frac{5}{2})\)
- \((\frac{5}{2}, 7)\)
- \((7, +\infty)\)
Шаг 3: Выберем тестовые точки
Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала, чтобы определить знак произведения \((x - 7)(3x + 11)(2x - 5)\):
Для интервала \((-\infty, -\frac{11}{3})\), выберем \(x = -4\): \[ (-4 - 7)(3 \cdot -4 + 11)(2 \cdot -4 - 5) = (-11)(-12 + 11)(-8 - 5) = (-11)(-1)(-13) < 0 \]
Для интервала \((- \frac{11}{3}, \frac{5}{2})\), выберем \(x = 0\): \[ (0 - 7)(3 \cdot 0 + 11)(2 \cdot 0 - 5) = (-7)(11)(-5) = 385 > 0 \]
Для интервала \((\frac{5}{2}, 7)\), выберем \(x = 3\): \[ (3 - 7)(3 \cdot 3 + 11)(2 \cdot 3 - 5) = (-4)(9 + 11)(6 - 5) = (-4)(20)(1) < 0 \]
Для интервала \((7, +\infty)\), выберем \(x = 8\): \[ (8 - 7)(3 \cdot 8 + 11)(2 \cdot 8 - 5) = (1)(24 + 11)(16 - 5) = (1)(35)(11) > 0 \]
Шаг 4: Подведем итоги
Теперь мы можем суммировать результаты:
- На интервале \((-\infty, -\frac{11}{3})\): знак < 0
- На интервале \((- \frac{11}{3}, \frac{5}{2})\): знак > 0
- На интервале \((\frac{5}{2}, 7)\): знак < 0
- На интервале \((7, +\infty)\): знак > 0
Шаг 5: Запишем итоговое решение
Неравенство \((x - 7)(3x + 11)(2x - 5) > 0\) выполняется в интервалах: \[ (- \frac{11}{3}, \frac{5}{2}) \cup (7, +\infty) \]
Ответ
Таким образом, решением неравенства является: \[ x \in \left(-\frac{11}{3}, \frac{5}{2}\right) \cup (7, +\infty) \]
