найдите косинус угла между вектора a(4; -1) и b(-6;-8)
Чтобы найти косинус угла между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), используем формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
где:
- \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов,
- \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины векторов.
Шаг 1: Найдите скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \)
Сначала вычислим скалярное произведение:
\[ \mathbf{a} = (4, -1) \quad \text{и} \quad \mathbf{b} = (-6, -8) \]
Скалярное произведение рассчитывается по формуле:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \]
Подставляем значения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \times (-6) + (-1) \times (-8) = -24 + 8 = -16 \]
Шаг 2: Найдите длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \)
Длина вектора \( \mathbf{a} \) определяется как:
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \]
Длина вектора \( \mathbf{b} \):
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
Шаг 3: Подставьте значения в формулу для косинуса
Теперь подставим полученные значения в формулу для вычисления косинуса угла:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{-16}{\sqrt{17} \times 10} \]
Упрощаем выражение:
\[ \cos(\theta) = \frac{-16}{10\sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}} \]
Шаг 4: Примерное значение косинуса
Если требуется численное значение, можем приблизительно вычислить:
\[ \sqrt{17} \approx 4.123 \] Поэтому:
\[ \cos(\theta) \approx -\frac{8}{5 \times 4.123} \approx -\frac{8}{20.615} \approx -0.387 \]
Итог
Таким образом, косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен:
\[ \cos(\theta) \approx -\frac{8}{5\sqrt{17}} \quad \text{или} \quad \cos(\theta) \approx -0.387 \]
Теперь у вас есть все необходимые шаги и расчет для понимания, как найти косинус угла между двумя векторами!
