Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой биномиального распределения, поскольку мы имеем дело с независимыми событиями (каждое подбрасывание игральной кости), и интересует нас вероятность определенного числа успехов (в нашем случае — выпадение числа 4).
Шаг 1: Определение параметров задачи
- Общее число подбрасываний (n): 11 (Петя подбрасывает кость 11 раз).
- Число успехов (k): 1 (мы хотим, чтобы число 4 выпало 1 раз).
- Вероятность успеха (p): вероятность того, что при одном подбрасывании выпадет 4. На стандартной игральной кости 6 граней, и вероятность того, что выпадет 4, равна (\frac{1}{6}).
- Вероятность неуспеха (q): вероятность того, что не выпадет 4, равна (1 - p = \frac{5}{6}).
Шаг 2: Применение формулы биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности k успехов из n испытаний выражается как:
[
P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где (C(n, k)) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
]
Шаг 3: Подставляем значения
Подставим наши значения в формулу:
- (n = 11)
- (k = 1)
- (p = \frac{1}{6})
- (q = \frac{5}{6})
Вычисление биномиального коэффициента:
[
C(11, 1) = \frac{11!}{1! \cdot (11-1)!} = \frac{11!}{1! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 10!}{1 \cdot 10!} = 11
]
Вставляем в формулу:
[
P(1; 11, \frac{1}{6}) = 11 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{11-1}
]
[
P(1; 11, \frac{1}{6}) = 11 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{10}
]
Шаг 4: Вычисление вероятности
Сначала посчитаем (\left(\frac{5}{6}\right)^{10}):
[
\left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 0.1615 \quad \text{(воспользуемся калькулятором)}
]
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
[
P(1; 11, \frac{1}{6}) \approx 11 \cdot \frac{1}{6} \cdot 0.1615
]
[
P(1; 11, \frac{1}{6}) \approx 11 \cdot 0.02691666667 \approx 0.296
]
Ответ
Вероятность того, что при 11 подбрасываниях игральной кости только один раз выпадет число 4, составляет примерно 0.296 или 29.6%.
