петя с друзьями по субботам собираются играют в настольные игры Определи вероятность того что при 11 петиных подбрасываниях игральной кости только один раз выпадет четыре

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой биномиального распределения, поскольку мы имеем дело с независимыми событиями (каждое подбрасывание игральной кости), и интересует нас вероятность определенного числа успехов (в нашем случае — выпадение числа 4).

Шаг 1: Определение параметров задачи

1. Общее число подбрасываний (n): 11 (Петя подбрасывает кость 11 раз).
2. Число успехов (k): 1 (мы хотим, чтобы число 4 выпало 1 раз).
3. Вероятность успеха (p): вероятность того, что при одном подбрасывании выпадет 4. На стандартной игральной кости 6 граней, и вероятность того, что выпадет 4, равна \(\frac{1}{6}\).
4. Вероятность неуспеха (q): вероятность того, что не выпадет 4, равна \(1 - p = \frac{5}{6}\).

Шаг 2: Применение формулы биномиального распределения

Формула для вычисления вероятности k успехов из n испытаний выражается как:

\[ P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]

Шаг 3: Подставляем значения

Подставим наши значения в формулу:

• \(n = 11\)
• \(k = 1\)
• \(p = \frac{1}{6}\)
• \(q = \frac{5}{6}\)

Вычисление биномиального коэффициента:

\[ C(11, 1) = \frac{11!}{1! \cdot (11-1)!} = \frac{11!}{1! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 10!}{1 \cdot 10!} = 11 \]

Вставляем в формулу:

\[ P(1; 11, \frac{1}{6}) = 11 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{11-1} \]

\[ P(1; 11, \frac{1}{6}) = 11 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \]

Шаг 4: Вычисление вероятности

Сначала посчитаем \(\left(\frac{5}{6}\right)^{10}\):

\[ \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 0.1615 \quad \text{(воспользуемся калькулятором)} \]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

\[ P(1; 11, \frac{1}{6}) \approx 11 \cdot \frac{1}{6} \cdot 0.1615 \]

\[ P(1; 11, \frac{1}{6}) \approx 11 \cdot 0.02691666667 \approx 0.296 \]

Ответ

Вероятность того, что при 11 подбрасываниях игральной кости только один раз выпадет число 4, составляет примерно 0.296 или 29.6%.