Тип 5 № 508782 Симметр ичн ую монет у брос ают 12 раз. Во скольк о раз вер оятность соб ытия «вып а- дет ровно 4 орла» меньш е вер оятнос ти соб ыт ия «выпадет ровно 5~орлов»? О т…

Для решения задачи, нужно использовать формулу вероятности для биномиального распределения, так как мы рассматриваем несколько независимых испытаний (бросков монеты), где вероятность успеха (выпадение орла) постоянная.

Монету бросают 12 раз, и мы ищем вероятность того, что в одном случае выпадет ровно 4 орла, а в другом — ровно 5 орлов.

Определение вероятности

Вероятность получения k успехов в n испытаниях определяется формулой:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать k успехов из n испытаний и рассчитывается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \)
• \( p \) — вероятность успеха (для симметричной монеты \( p = 0.5 \))
• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 12)
• \( k \) — количество успехов (или орлов)

Рассчитываем вероятности

1. Для \( P(X = 4) \):

   • \( n = 12 \), \( k = 4 \)
   • \( p = 0.5 \)

   Рассчитаем биномиальный коэффициент \( C(12, 4) \):

   \[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12 - 4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \]

   Теперь подставляем значения в формулу вероятности:

   \[ P(X = 4) = 495 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{12 - 4} = 495 \cdot (0.5)^{12} = 495 \cdot \frac{1}{4096} \approx 0.1204 \]

2. Для \( P(X = 5) \):

   • \( n = 12 \), \( k = 5 \)

   Рассчитаем биномиальный коэффициент \( C(12, 5) \):

   \[ C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12 - 5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792 \]

   Теперь подставляем значения в формулу вероятности:

   \[ P(X = 5) = 792 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{12 - 5} = 792 \cdot (0.5)^{12} = 792 \cdot \frac{1}{4096} \approx 0.1932 \]

Сравнение вероятностей

Теперь мы имеем:

• \( P(X = 4) \approx 0.1204 \)
• \( P(X = 5) \approx 0.1932 \)

Нам нужно определить, во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» меньше вероятности события «выпадет ровно 5 орлов»:

\[ \text{Отношение} = \frac{P(X = 5)}{P(X = 4)} \approx \frac{0.1932}{0.1204} \approx 1.604 \]

Таким образом, вероятность события «выпадет ровно 4 орла» меньше вероятности события «выпадет ровно 5 орлов» примерно в 1.6 раза.

Ответ

1,6