√2x+63=x

Чтобы решить уравнение \( \sqrt{2x} + 63 = x \), следует выполнить несколько шагов. Давайте разберём его по порядку. ### Шаг 1: Переносим все члены в одну часть уравнения Переносим \( x \) на левую сторону: \[ \sqrt{2x} + 63 - x = 0 \] ### Шаг 2: Изолируем корень Для удобства давайте изолируем корень, переместив все остальные члены в другую сторону: \[ \sqrt{2x} = x - 63 \] ### Шаг 3: Квадратирование обеих сторон Чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе стороны уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{2x})^2 = (x - 63)^2 \] Это даёт: \[ 2x = (x - 63)(x - 63) \] Теперь раскрываем правую часть: \[ 2x = x^2 - 126x + 3969 \] ### Шаг 4: Переносим всё на одну сторону Переносим \( 2x \) на правую сторону: \[ 0 = x^2 - 126x - 2x + 3969 \] Сводим подобные члены: \[ 0 = x^2 - 128x + 3969 \] ### Шаг 5: Решаем квадратное уравнение Теперь у нас есть квадратное уравнение \( x^2 - 128x + 3969 = 0 \). Мы можем решить его с помощью дискриминанта. Сначала находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3969 \] Считаем: \[ D = 16384 - 15876 = 508 \] Поскольку \( D > 0 \), у нас два различных корня. Теперь находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{128 \pm \sqrt{508}}{2} \] Находим \( \sqrt{508} \): \[ \sqrt{508} \approx 22.494 \] Теперь подставляем в формулу: \[ x_1 = \frac{128 + 22.494}{2} \approx \frac{150.494}{2} \approx 75.247 \] \[ x_2 = \frac{128 - 22.494}{2} \approx \frac{105.506}{2} \approx 52.753 \] ### Шаг 6: Проверка решений Перед тем как окончательно утверждать значение, проверим оба корня в исходном уравнении, так как мы возводили в квадрат. 1. Проверяем \( x_1 \approx 75.247 \): \[ \sqrt{2 \cdot 75.247} + 63 \approx \sqrt{150.494} + 63 \approx 12.25 + 63 \approx 75.25 \quad (\text{подходит}) \] 2. Проверяем \( x_2 \approx 52.753 \): \[ \sqrt{2 \cdot 52.753} + 63 \approx \sqrt{105.506} + 63 \approx 10.26 + 63 \approx 73.26 \quad (\text{не подходит}) \] ### Итог В итоге, единственное решение уравнения \( \sqrt{2x} + 63 = x \) — это \( x \approx 75.247 \).