√2x+63=x
Чтобы решить уравнение \( \sqrt{2x} + 63 = x \), следует выполнить несколько шагов. Давайте разберём его по порядку.
Шаг 1: Переносим все члены в одну часть уравнения
Переносим \( x \) на левую сторону:
\[ \sqrt{2x} + 63 - x = 0 \]
Шаг 2: Изолируем корень
Для удобства давайте изолируем корень, переместив все остальные члены в другую сторону:
\[ \sqrt{2x} = x - 63 \]
Шаг 3: Квадратирование обеих сторон
Чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (\sqrt{2x})^2 = (x - 63)^2 \]
Это даёт:
\[ 2x = (x - 63)(x - 63) \]
Теперь раскрываем правую часть:
\[ 2x = x^2 - 126x + 3969 \]
Шаг 4: Переносим всё на одну сторону
Переносим \( 2x \) на правую сторону:
\[ 0 = x^2 - 126x - 2x + 3969 \]
Сводим подобные члены:
\[ 0 = x^2 - 128x + 3969 \]
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение
Теперь у нас есть квадратное уравнение \( x^2 - 128x + 3969 = 0 \). Мы можем решить его с помощью дискриминанта.
Сначала находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3969 \]
Считаем:
\[ D = 16384 - 15876 = 508 \]
Поскольку \( D > 0 \), у нас два различных корня. Теперь находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{128 \pm \sqrt{508}}{2} \]
Находим \( \sqrt{508} \):
\[ \sqrt{508} \approx 22.494 \]
Теперь подставляем в формулу:
\[ x_1 = \frac{128 + 22.494}{2} \approx \frac{150.494}{2} \approx 75.247 \] \[ x_2 = \frac{128 - 22.494}{2} \approx \frac{105.506}{2} \approx 52.753 \]
Шаг 6: Проверка решений
Перед тем как окончательно утверждать значение, проверим оба корня в исходном уравнении, так как мы возводили в квадрат.
- Проверяем \( x_1 \approx 75.247 \):
\[ \sqrt{2 \cdot 75.247} + 63 \approx \sqrt{150.494} + 63 \approx 12.25 + 63 \approx 75.25 \quad (\text{подходит}) \]
- Проверяем \( x_2 \approx 52.753 \):
\[ \sqrt{2 \cdot 52.753} + 63 \approx \sqrt{105.506} + 63 \approx 10.26 + 63 \approx 73.26 \quad (\text{не подходит}) \]
Итог
В итоге, единственное решение уравнения \( \sqrt{2x} + 63 = x \) — это \( x \approx 75.247 \).
