1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12см, а высота боковой грани -15 см. Найдите боковое ребро. 2. Основание прямой призмы прямоугольный треугольник в катетом…

Давайте решим обе задачи по очереди.

Задача 1: Пирамида

Дано:

• Высота пирамиды \( h = 12 \) см
• Высота боковой грани \( l = 15 \) см

Необходимо найти: длину бокового ребра \( r \).

1. Определим структуру пирамиды. В правильной четырехугольной пирамиде все боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани \( l \) — это расстояние от вершины пирамиды до середины основания треугольника, проведённое перпендикулярно к основанию.

2. Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, высотой боковой грани и боковым ребром. Этот треугольник прямоугольный, где одно катет — высота пирамиды \( h \), другой катет — высота боковой грани \( l \), а гипотенуза — это боковое ребро \( r \).

   Используем теорему Пифагора: \[ r^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] где \( a \) — длина стороны основания. Так как у нас нет информации о стороне основания, сосредоточимся только на высотах.

3. Для нахождения бокового ребра воспользуемся высотой и высотой боковой грани: \[ r^2 = h^2 + (l - h)^2 \] Подставим значения: \[ r^2 = 12^2 + (15 - 12)^2 \] \[ r^2 = 144 + 3^2 \] \[ r^2 = 144 + 9 = 153 \] Теперь найдём \( r \): \[ r = \sqrt{153} \approx 12.37 \text{ см} \]

Таким образом, длина бокового ребра составляет приблизительно 12.37 см.

Задача 2: Призма

Дано:

• Основание — прямоугольный треугольник с катетами \( a = 6 \) см и острым углом \( \alpha = 45^\circ \)
• Объем призмы \( V = 108 \) см³

Необходимо найти: площадь полной поверхности призмы.

1. Вычислим площадь основания: Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] Так как совпадает острый угол \( \alpha = 45^\circ \), мы можем использовать \( a = b = 6 \) см: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \text{ см}^2 \]

2. Найдём высоту призмы. Объем призмы выражается формулой: \[ V = S \cdot h_p \] где \( h_p \) — высота призмы. Подставим известные значения: \[ 108 = 18 \cdot h_p \] \[ h_p = \frac{108}{18} = 6 \text{ см} \]

3. Теперь найдём площадь полной поверхности призмы. Полная поверхность \( S_p \) состоит из площади двух оснований и площади боковых граней: \[ S_p = 2S + S_{бок} \] Площадь боковых граней \( S_{бок} \) считается как сумма площадей всех боковых граней. У нас будут три боковые грани, каждая из которых — прямоугольник, основание и высота:

   • Для каждой стороны:
     • \( 6 \cdot h_p \) (две грани)
     • Длина гипотенузы \( c \) (по теореме Пифагора): \[ c = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] Площадь граней с гипотенузой: \[ S_{\text{гип}} = c \cdot h_p = 6\sqrt{2} \cdot 6 = 36\sqrt{2} \]

4. Сложим все площади: \[ S_{бок} = 2(6 \cdot 6) + 36\sqrt{2} = 72 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2 \] Теперь считаем полную поверхность: \[ S_p = 2S + S_{бок} = 2 \cdot 18 + 72 + 36\sqrt{2} = 36 + 72 + 36\sqrt{2} = 108 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

Итак, площадь полной поверхности призмы составляет \( 108 + 36\sqrt{2} \) см².