Найдите высоту равнобокой трапеции с основаниями 6 см и 14 см, если боковая сторона равна 5 см

Чтобы найти высоту равнобокой трапеции с заданными основаниями и длиной боковой стороны, можно воспользоваться формулой для высоты равнобокой трапеции.

Дано:

• Нижнее основание \( a = 14 \, \text{см} \)
• Верхнее основание \( b = 6 \, \text{см} \)
• Длина боковой стороны \( c = 5 \, \text{см} \)

Шаг 1: Определение средней линии

Сначала найдём длину средней линии \( m \) трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{см} \]

Шаг 2: Применение теоремы Пифагора

Разделим равнобоку трапецию на два равных прямоугольных треугольника, проведя высоту \( h \) из верхнего основания к нижнему. Обозначим расстояние от одной из вершин нижнего основания до проекции верхнего основания на нижнее основание как \( x \). Тогда можем записать, что:

• Отрезок на нижнем основании слева от высоты: \( x \)
• Отрезок на нижнем основании справа от высоты: \( \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{см} \)

Итак, мы знаем, что: \[ a - b = 14 - 6 = 8 \, \text{см} \] Поскольку равнобокая трапеция симметрична, отрезки слева и справа равны: \[ 2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \, \text{см} \]

Шаг 3: Использование теоремы Пифагора

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза (боковая сторона) \( c = 5 \, \text{см} \), один катет \( x = 4 \, \text{см} \) и высота \( h \) является вторым катетом. По теореме Пифагора можно записать: \[ c^2 = x^2 + h^2 \] Подставляем известные значения: \[ 5^2 = 4^2 + h^2 \] \[ 25 = 16 + h^2 \] \[ h^2 = 25 - 16 = 9 \] \[ h = \sqrt{9} = 3 \, \text{см} \]

Ответ

Таким образом, высота равнобокой трапеции составляет \( 3 \, \text{см} \).