Для решения задачи начнем с определения векторов ( \vec{AC} ) и ( \vec{BD} ).
Шаг 1: Находить вектор ( \vec{AC} )
Вектор ( \vec{AC} ) вычисляется по формуле:
[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}
]
Координаты точки ( A ) равны ((-1, 6)), и координаты точки ( C ) равны ( (8, -10) ). Подставим их в формулу:
[
\vec{AC} = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16)
]
Шаг 2: Находить вектор ( \vec{BD} )
Вектор ( \vec{BD} ) также вычисляется по аналогичной формуле:
[
\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B}
]
Координаты точки ( B ) равны ((-4, -9)), и координаты точки ( D ) равны ( (7, -27) ). Подставим их в формулу:
[
\vec{BD} = (7 - (-4), -27 - (-9)) = (7 + 4, -27 + 9) = (11, -18)
]
Шаг 3: Находим векторы 3AC и 2BD
Теперь вычисляем ( 3\vec{AC} ) и ( 2\vec{BD} ):
[
3\vec{AC} = 3(9, -16) = (27, -48)
]
[
2\vec{BD} = 2(11, -18) = (22, -36)
]
Шаг 4: Находим вектор ( 3AC - 2BD )
Теперь найдем величину ( 3\vec{AC} - 2\vec{BD} ):
[
3\vec{AC} - 2\vec{BD} = (27, -48) - (22, -36) = (27 - 22, -48 + 36) = (5, -12)
]
Шаг 5: Находим длину вектора ( 3AC - 2BD )
Длина вектора ( \vec{v} = (x, y) ) вычисляется по формуле:
[
|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Для нашего вектора:
[
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
]
Ответ:
Длина вектора ( 3AC - 2BD ) равна ( 13 ).
