Для решения задачи давайте обозначим количество купюр 500 рублей как (x), а количество купюр 5000 рублей как (y). Зная, что у Алисы всего 20 купюр, мы можем записать следующее уравнение:
- Общее количество купюр:
[
x + y = 20
]
Далее, нужно учитывать стоимость купюр. Общая сумма, которую может потратить Алиса, будет равна:
- Общая стоимость купюр:
[
500x + 5000y = 37000
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
[
\begin{cases}
x + y = 20 \
500x + 5000y = 37000
\end{cases}
]
Чтобы решить эту систему, сначала упростим второе уравнение. Разделим его на 500:
[
x + 10y = 74
]
Теперь у нас есть новая система:
[
\begin{cases}
x + y = 20 \quad (1) \
x + 10y = 74 \quad (2)
\end{cases}
]
Теперь вычтем (1) из (2):
[
(x + 10y) - (x + y) = 74 - 20
]
Это упростится до:
[
9y = 54
]
Теперь решим для (y):
[
y = \frac{54}{9} = 6
]
Теперь, зная (y), подставим его обратно в уравнение (1):
[
x + 6 = 20
]
Следовательно,
[
x = 20 - 6 = 14
]
Таким образом, у Алисы должно быть 14 купюр по 500 рублей и 6 купюр по 5000 рублей.
Проверка:
Количество купюр:
[
14 + 6 = 20
]
Всё верно!
Общая сумма:
[
500 \times 14 + 5000 \times 6 = 7000 + 30000 = 37000
]
Всё верно!
Ответ:
Алисе нужно 14 купюр по 500 рублей и 6 купюр по 5000 рублей, чтобы она могла купить картину и потратить все купюры.
