Чтобы решить задачу с треугольником, в котором две стороны равны ( a = 6 ) см и ( b = 18 ) см, а угол между ними ( \gamma = 60^\circ ), мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Она позволяет найти третью сторону ( c ) треугольника, используя следующие формулы.
Шаг 1: Находим третью сторону (Сторону ( c ))
По теореме косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)
]
Подставим наши значения:
- ( a = 6 ) см
- ( b = 18 ) см
- ( \gamma = 60^\circ )
- ( \cos(60^\circ) = 0.5 )
Подставим в формулу:
[
c^2 = 6^2 + 18^2 - 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot 0.5
]
Теперь посчитаем каждую часть:
[
c^2 = 36 + 324 - 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot 0.5
]
Вычисляем:
[
c^2 = 36 + 324 - 108
]
[
c^2 = 252
]
Теперь извлечем корень из обеих сторон, чтобы найти длину стороны ( c ):
[
c = \sqrt{252}
]
Упрощаем:
[
\sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}
]
Шаг 2: Находим площадь треугольника
Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу:
[
S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma)
]
Подставим наши значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 18 \cdot \sin(60^\circ)
]
Зная, что ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Посчитаем:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 18 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{108\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}
]
Ответ
- Третья сторона ( c ): ( c = 6\sqrt{7} ) см.
- Площадь ( S ): ( S = 27\sqrt{3} ) см².
Таким образом, мы нашли третью сторону и площадь треугольника. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения, не стесняйтесь спрашивать!
