Реши

Давайте разберемся с каждым уравнением и решим их по шагам. ### 1) \(\frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4\) **Шаг 1: Найдите общий знаменатель.** Общий знаменатель для 6 и \(x-1\) это \(6(x-1)\). **Шаг 2: Приведите обе дроби к общему знаменателю.** \[ \frac{x+1}{6} = \frac{(x+1)(x-1)}{6(x-1)}, \quad \frac{20}{x-1} = \frac{120}{6(x-1)} \] **Шаг 3: Запишите уравнение с общим знаменателем.** \[ \frac{(x+1)(x-1) + 120}{6(x-1)} = 4 \] **Шаг 4: Умножьте обе стороны на \(6(x-1)\) чтобы избавиться от дроби.** \[ (x+1)(x-1) + 120 = 24(x-1) \] **Шаг 5: Раскройте скобки.** \[ x^2 - 1 + 120 = 24x - 24 \] \[ x^2 + 119 = 24x - 24 \] **Шаг 6: Приведите уравнение к квадратному.** \[ x^2 - 24x + 143 = 0 \] **Шаг 7: Решите квадратное уравнение.** Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \times 1 \times 143 = 576 - 572 = 4\) Корни: \[ x = \frac{24 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{24 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = 13, \quad x_2 = 11 \] ### 2) \(\frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 2\) **Шаг 1: Найдите общий знаменатель** Общий знаменатель: \((x-1)(x+1)\). **Шаг 2: Приведите обе дроби к общему знаменателю.** \[ \frac{12(x+1) - 8(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 2 \] **Шаг 3: Запишите уравнение с общим знаменателем.** \[ \frac{12(x+1) - 8(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 2 \] **Шаг 4: Умножьте обе стороны на \((x-1)(x+1)\).** \[ 12(x+1) - 8(x-1) = 2(x^2 - 1) \] **Шаг 5: Раскройте скобки и упростите.** \[ 12x + 12 - 8x + 8 = 2x^2 - 2 \] \[ 4x + 20 = 2x^2 - 2 \] **Шаг 6: Приведите уравнение к квадратному.** \[ 2x^2 - 4x - 22 = 0 \] **Шаг 7: Решите квадратное уравнение.** \[ x^2 - 2x - 11 = 0 \] Дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-11) = 4 + 44 = 48\) Корни: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} \] \[ x_1 = 1 + 2\sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - 2\sqrt{3} \] ### 3) \(\frac{x-2}{x+2} = \frac{x+1}{x-4}\) **Шаг 1: Перекрестное умножение.** \[ (x-2)(x-4) = (x+1)(x+2) \] **Шаг 2: Раскрытие скобок и приведение к квадратному уравнению.** \[ x^2 - 6x + 8 = x^2 + 3x + 2 \] **Шаг 3: Упростите уравнение.** \[ -6x + 8 = 3x + 2 \] \[ -9x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3} \] ### 4) \(\frac{3y-2}{y} = \frac{3y+4}{y^2 - 2y}\) **Шаг 1: Перенос всех членов на одну сторону.** Эксвивалентно \(y \neq 0\) и \(y \neq 2\). **Шаг 2: Перекрестное умножение.** \[ (3y-2)(y^2 - 2y) = y(3y+4) \] **Шаг 3: Раскрытие скобок.** \[ 3y^3 - 6y^2 - 2y^2 + 4y = 3y^2 + 4y \] **Шаг 4: Приведение всех членов на одну сторону.** \[ 3y^3 - 8y^2 + 4y = 3y^2 + 4y \] Поскольку левые и правые части уравнения могут отменяться, решаем для \(y\): \[ 3y^3 - 11y^2 = 0 \] **Шаг 5: Разложение на множители.** \[ y^2(3y - 11) = 0 \] Решения: \(y = 0\) (но это недопустимо по условию), \(y = \frac{11}{3}\) Вот решения всех уравнений.