Реши
Давайте разберемся с каждым уравнением и решим их по шагам.
1) \(\frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4\)
Шаг 1: Найдите общий знаменатель.
Общий знаменатель для 6 и \(x-1\) это \(6(x-1)\).
Шаг 2: Приведите обе дроби к общему знаменателю.
\[ \frac{x+1}{6} = \frac{(x+1)(x-1)}{6(x-1)}, \quad \frac{20}{x-1} = \frac{120}{6(x-1)} \]
Шаг 3: Запишите уравнение с общим знаменателем.
\[ \frac{(x+1)(x-1) + 120}{6(x-1)} = 4 \]
Шаг 4: Умножьте обе стороны на \(6(x-1)\) чтобы избавиться от дроби.
\[ (x+1)(x-1) + 120 = 24(x-1) \]
Шаг 5: Раскройте скобки.
\[ x^2 - 1 + 120 = 24x - 24 \]
\[ x^2 + 119 = 24x - 24 \]
Шаг 6: Приведите уравнение к квадратному.
\[ x^2 - 24x + 143 = 0 \]
Шаг 7: Решите квадратное уравнение.
Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \times 1 \times 143 = 576 - 572 = 4\)
Корни:
\[ x = \frac{24 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{24 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = 13, \quad x_2 = 11 \]
2) \(\frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 2\)
Шаг 1: Найдите общий знаменатель
Общий знаменатель: \((x-1)(x+1)\).
Шаг 2: Приведите обе дроби к общему знаменателю.
\[ \frac{12(x+1) - 8(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 2 \]
Шаг 3: Запишите уравнение с общим знаменателем.
\[ \frac{12(x+1) - 8(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 2 \]
Шаг 4: Умножьте обе стороны на \((x-1)(x+1)\).
\[ 12(x+1) - 8(x-1) = 2(x^2 - 1) \]
Шаг 5: Раскройте скобки и упростите.
\[ 12x + 12 - 8x + 8 = 2x^2 - 2 \]
\[ 4x + 20 = 2x^2 - 2 \]
Шаг 6: Приведите уравнение к квадратному.
\[ 2x^2 - 4x - 22 = 0 \]
Шаг 7: Решите квадратное уравнение.
\[ x^2 - 2x - 11 = 0 \]
Дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-11) = 4 + 44 = 48\)
Корни:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} \]
\[ x_1 = 1 + 2\sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - 2\sqrt{3} \]
3) \(\frac{x-2}{x+2} = \frac{x+1}{x-4}\)
Шаг 1: Перекрестное умножение.
\[ (x-2)(x-4) = (x+1)(x+2) \]
Шаг 2: Раскрытие скобок и приведение к квадратному уравнению.
\[ x^2 - 6x + 8 = x^2 + 3x + 2 \]
Шаг 3: Упростите уравнение.
\[ -6x + 8 = 3x + 2 \]
\[ -9x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3} \]
4) \(\frac{3y-2}{y} = \frac{3y+4}{y^2 - 2y}\)
Шаг 1: Перенос всех членов на одну сторону.
Эксвивалентно \(y \neq 0\) и \(y \neq 2\).
Шаг 2: Перекрестное умножение.
\[ (3y-2)(y^2 - 2y) = y(3y+4) \]
Шаг 3: Раскрытие скобок.
\[ 3y^3 - 6y^2 - 2y^2 + 4y = 3y^2 + 4y \]
Шаг 4: Приведение всех членов на одну сторону.
\[ 3y^3 - 8y^2 + 4y = 3y^2 + 4y \]
Поскольку левые и правые части уравнения могут отменяться, решаем для \(y\):
\[ 3y^3 - 11y^2 = 0 \]
Шаг 5: Разложение на множители.
\[ y^2(3y - 11) = 0 \]
Решения:
\(y = 0\) (но это недопустимо по условию),
\(y = \frac{11}{3}\)
Вот решения всех уравнений.
