Для решения данной задачи нам нужно найти периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность радиусом ( r = 8.3 ) см. А также учтем, что точка касания окружности делит гипотенузу на отрезки длиной ( 14.9 ) см и ( 8 ) см.
Шаг 1: Определение длины гипотенузы
Обозначим длины катетов нашего треугольника за ( a ) и ( b ), а гипотенузу за ( c ). Поскольку точка касания окружности с гипотенузой делит её на отрезки ( 14.9 ) см и ( 8 ) см, то:
[
c = 14.9 + 8 = 22.9 \text{ см}
]
Шаг 2: Связь между радиусом вписанной окружности и катетами
Для прямоугольного треугольника существует связь между радиусом вписанной окружности (( r )), площадью (( S )) и полупериметром (( p )).
Формула для радиуса вписанной окружности:
[
r = \frac{S}{p}
]
где ( S ) - площадь треугольника, а ( p ) - полупериметр, который равен:
[
p = \frac{a + b + c}{2}
]
Шаг 3: Площадь треугольника
Площадь ( S ) треугольника можно также выразить через катеты:
[
S = \frac{1}{2}ab
]
Шаг 4: Полупериметр
Полупериметр ( p ) равен:
[
p = \frac{a + b + 22.9}{2}
]
Шаг 5: Объединим все в одно уравнение
Подставим выражения для площади ( S ) и полупериметра ( p ) в формулу для радиуса вписанной окружности:
[
8.3 = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a + b + 22.9}{2}}
]
Упростим:
[
8.3 \cdot \frac{a + b + 22.9}{2} = \frac{1}{2}ab
]
Умножим обе стороны на 2:
[
8.3(a + b + 22.9) = ab
]
Шаг 6: Подставляем известные границы
Так как мы знаем ( c = 22.9 ) см, нам нужно использовать это уравнение с некоторыми значениями для ( a ) и ( b ).
Рассмотрим, что ( a ) и ( b ) можно выразить через известные длины отрезков на гипотенузе с помощью теоремы о вписанном окружности в прямоугольный треугольник. Эти длины будут относиться к катетам, т.е. ( a = 14.9 + r ) и ( b = 8 + r ) или подобным путем, но для каждого катета мы эти величины можем рассматривать поисковым путем.
Шаг 7: Найдем катеты
Следовательно, у нас есть некая связь, которая нам нужна:
[
a + b = \sqrt{c^2 + (2r)(c)}
]
Но чтобы его завершить, мы можем подставить в виде надеяемся, что знаем катеты ( a ) и ( b ) или как будут длиться известные значения.
Рекомендуем установить то, что катеты соответствуют и вернуть к полупериметру:
[
p = a + b + c = 2(8.3) = 16.6.
]
Шаг 8: Итоговый периметр
Периметр треугольника:
[
\text{Периметр} = 22.9 + 14.9 + 8 = 45.8 \text{ см.}
]
Ответ
Периметр треугольника равен ( 45.8 ) см.
