Найди радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник АВС, где ∠B = 90°, AB = 21, BC = 12√2.

Чтобы найти радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник, мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности (R) в прямоугольном треугольнике. Она выглядит так:

\[ R = \frac{c}{2} \]

где \(c\) — это гипотенуза треугольника.

Шаг 1: Находим гипотенузу

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при B, стороны AB и BC являются катетами. Мы знаем:

• AB = 21
• BC = 12√2

Теперь можем найти длину гипотенузы AC по теореме Пифагора:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ AC^2 = 21^2 + (12\sqrt{2})^2 \]

Теперь вычислим каждую часть:

\[ 21^2 = 441 \] \[ (12\sqrt{2})^2 = 12^2 \cdot 2 = 144 \cdot 2 = 288 \]

Теперь складываем эти два результата:

\[ AC^2 = 441 + 288 = 729 \]

Теперь найдём AC:

\[ AC = \sqrt{729} = 27 \]

Шаг 2: Находим радиус окружности

Используя найденное значение гипотенузы \(c = 27\), подставляем его в формулу для нахождения радиуса окружности:

\[ R = \frac{c}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \]

Ответ

Радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник ABC, равен 13.5.