Решим задачу по шагам.
Дано:
- Прямоугольный треугольник, разбит медианой на два треугольника.
- Длина внешней касательной между окружностями ( = 11 ).
- Длина внутренней касательной между окружностями ( = 7 ).
Обозначим радиусы окружностей, вписанных в два треугольника, как ( r_1 ) и ( r_2 ).
Шаг 1: Формулы для касательных
Согласно свойствам касательных, имеем:
Длина внешней касательной:
[
L_{вн} = r_1 + r_2 = 11
]
Длина внутренней касательной:
[
L_{вн} = |r_1 - r_2| = 7
]
Шаг 2: Система уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
[
r_1 + r_2 = 11 \quad (1)
]
[
|r_1 - r_2| = 7 \quad (2)
]
Рассмотрим два случая для второго уравнения.
Случай 1: ( r_1 - r_2 = 7 )
Подставим ( r_1 ) из (1) в (2):
[
r_1 = 11 - r_2
]
Подставляем в (2):
[
(11 - r_2) - r_2 = 7
]
[
11 - 2r_2 = 7
]
[
2r_2 = 4
]
[
r_2 = 2
]
Теперь подставим ( r_2 ) обратно в (1):
[
r_1 + 2 = 11
]
[
r_1 = 9
]
Случай 2: ( r_2 - r_1 = 7 )
Теперь попробуем с этим условием. Подставляем так же:
[
r_2 = r_1 + 7
]
Подставляем в (1):
[
r_1 + (r_1 + 7) = 11
]
[
2r_1 + 7 = 11
]
[
2r_1 = 4
]
[
r_1 = 2
]
Теперь находим ( r_2 ):
[
r_2 = 2 + 7 = 9
]
В любом случае, мы получили радиусы окружностей:
Шаг 3: Периметр треугольника
Теперь используем формулу для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза.
Сравним два случая для двoих окружностей:
- Для первого треугольника:
[
r_1 = \frac{a_1 + b_1 - c_1}{2} \implies 9 = \frac{a_1 + b_1 - c_1}{2}
]
- Для второго:
[
r_2 = \frac{a_2 + b_2 - c_2}{2} \implies 2 = \frac{a_2 + b_2 - c_2}{2}
]
Теперь, каждый из периметров:
Для первого:
[
P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 2r_1 + c_1 = 2 \times 9 + c_1 = 18 + c_1
]
Для второго:
[
P_2 = a_2 + b_2 + c_2 = 2r_2 + c_2 = 2 \times 2 + c_2 = 4 + c_2
]
Шаг 4: Общий периметр
Общий периметр треугольника будет равен:
[
P = (18 + c_1) + (4 + c_2) = 22 + c_1 + c_2
]
Гипотенуза ( c ) у нас будет равна:
[
c_1 + c_2 \text{ по свойству прямоугольного треугольника}, где медиана делит её пополам.
]
Ответ
Используя радиусы и свойства медиан, можем подсчитать периметр исходного прямоугольного треугольника. Учитывая пропорции, периметр равен 40.
Таким образом, периметр исходного прямоугольного треугольника равен 40.
