Найди  n, если  C6/n=84

Чтобы решить уравнение \( \frac{C_6}{n} = 84 \), начнем с понимания, что \( C_6 \) обозначает количество комбинаций, выбирая 6 элементов из некоторого множества. **Шаг 1: Найдем значение \( C_6 \)** Формула для вычисления количества сочетаний из \( n \) по \( k \) выглядит так: \[ C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае мы вычисляем \( C_6 \): \[ C_6 = C_6^n = \frac{n!}{6!(n-6)!} \] **Шаг 2: Подставляем \( C_6 \) в уравнение** Мы знаем, что \( \frac{C_6}{n} = 84 \), следовательно: \[ \frac{C_6^n}{n} = 84 \] Это можно переписать как: \[ C_6^n = 84n \] **Шаг 3: Мы можем подставить формулу для \( C_6^n \):** Подставляем: \[ \frac{n!}{6!(n-6)!} = 84n \] **Шаг 4: Умножим обе стороны на \( 6!(n-6)! \)** \[ n! = 84n \cdot 6! \cdot (n-6)! \] **Шаг 5: Упрощаем уравнение** Заметим, что: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4) \cdot (n-5) \cdot (n-6)! \] Следовательно: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4) \cdot (n-5) = 84 \cdot 720 \] где \( 6! = 720 \). **Шаг 6: Вычисляем правую часть** \[ 84 \cdot 720 = 60480 \] Теперь у нас есть уравнение: \[ n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) = 60480 \] **Шаг 7: Решим это уравнение** Теперь мы можем подыскивать значения \( n \): Для \( n = 10 \): \[ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 30240 \quad \text{(меньше)} \] Для \( n = 11 \): \[ 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 55440 \quad \text{(меньше)} \] Для \( n = 12 \): \[ 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 665280 \quad \text{(больше)} \] Мы видим, что 11 и 12 нам не подходят, давайте попробуем более низкие значения: Для \( n = 8 \): \[ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 20160 \quad \text{(меньше)} \] Наконец, мы вычисляем для \( n = 9 \): \[ 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 60480 \quad \text{(подходит)} \] **Ответ:** \( n = 9 \)