Найди n , если C6/n=84

Чтобы решить уравнение \( \frac{C_6}{n} = 84 \), начнем с понимания, что \( C_6 \) обозначает количество комбинаций, выбирая 6 элементов из некоторого множества.

Шаг 1: Найдем значение \( C_6 \)

Формула для вычисления количества сочетаний из \( n \) по \( k \) выглядит так:

\[ C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае мы вычисляем \( C_6 \):

\[ C_6 = C_6^n = \frac{n!}{6!(n-6)!} \]

Шаг 2: Подставляем \( C_6 \) в уравнение

Мы знаем, что \( \frac{C_6}{n} = 84 \), следовательно:

\[ \frac{C_6^n}{n} = 84 \]

Это можно переписать как:

\[ C_6^n = 84n \]

Шаг 3: Мы можем подставить формулу для \( C_6^n \):

Подставляем:

\[ \frac{n!}{6!(n-6)!} = 84n \]

Шаг 4: Умножим обе стороны на \( 6!(n-6)! \)

\[ n! = 84n \cdot 6! \cdot (n-6)! \]

Шаг 5: Упрощаем уравнение

Заметим, что:

\[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4) \cdot (n-5) \cdot (n-6)! \]

Следовательно:

\[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4) \cdot (n-5) = 84 \cdot 720 \]

где \( 6! = 720 \).

Шаг 6: Вычисляем правую часть

\[ 84 \cdot 720 = 60480 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) = 60480 \]

Шаг 7: Решим это уравнение

Теперь мы можем подыскивать значения \( n \):

Для \( n = 10 \):

\[ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 30240 \quad \text{(меньше)} \]

Для \( n = 11 \):

\[ 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 55440 \quad \text{(меньше)} \]

Для \( n = 12 \):

\[ 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 665280 \quad \text{(больше)} \]

Мы видим, что 11 и 12 нам не подходят, давайте попробуем более низкие значения:

Для \( n = 8 \):

\[ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 20160 \quad \text{(меньше)} \]

Наконец, мы вычисляем для \( n = 9 \):

\[ 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 60480 \quad \text{(подходит)} \]

Ответ:

\( n = 9 \)