Дано арифметическая прогрессия -523; х; -465.

Чтобы понять, как решить задачу, связанную с арифметической прогрессией, давайте рассмотрим, что такое арифметическая прогрессия и как мы можем найти значение \( x \).

Определение арифметической прогрессии: Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последующими членами постоянна. Эта постоянная разность называется "шагом" прогрессии.

Данные последовательности: У нас есть три члена прогрессии: -523, \( x \), -465.

Чтобы найти \( x \), мы можем использовать свойства арифметической прогрессии. Наша цель — определить, чему равно \( x \), при этом разность между любыми двумя соседними членами должна быть одной и той же.

Шаг 1: Найдем разность между первым и третьим членами.

1. Запишем значение разности между первым и третьим членами: \[ d = -465 - (-523) = -465 + 523 = 58. \]

Шаг 2: Проверим разность между первым и вторым членом: Если \(-523\) — это первый член, \(x\) — второй, то разность между первым и вторым членом должна быть равна \(d\): \[ x - (-523) = d. \] Это можно переписать как: \[ x + 523 = 58. \]

Шаг 3: Найдем значение \(x\): Чтобы найти \(x\), вычтем 523 из обеих сторон уравнения: \[ x = 58 - 523 = 58 - 523 = -465. \] Теперь мы видим, что эта разность между первым и вторым членом совпадает с разностью между вторым и третьим членами. Поскольку разность одинаковая, это подтверждает, что \( x = -465 \) соответствует условиям арифметической прогрессии.

Шаг 4: Подтверждение точности: Теперь, проверим разность между вторым и третьим членом: \[ -465 - x = -465 - (-465) = 0, \] но у нас не может быть двойного отрицания \(d\) в прогрессии. Вернемся к разности:

Получили решение, но следуя определению, второй член должен быть выше первого, но ниже третьего. Поэтому правильный процесс для нахождения -523 + (58) = -523 + 58 = -465. Путь через пересчёт пропорций. \[ x = -523 + 58 = -465. \]

В результате, мы можем сказать, что:

• \( x = -491 \)

Итог:
Таким образом, значение \( x \) равно \(-491\), что подтверждает арифметическую прогрессию.