4 √2 cos^2 7п/8 - 2 √2

Чтобы решить задачу \( 4 \sqrt{2} \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) - 2 \sqrt{2} \) и понять, как мы это делаем, следуем пошагово.

Шаг 1: Вычисление значения \( \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) \)

Сначала найдем значение косинуса:

• Угол \( \frac{7\pi}{8} \) находится в третьей четверти окружности, где косинус отрицателен, и его можно выразить как \( \pi - \frac{\pi}{8} \).
• По формуле: \( \cos(\pi - x) = -\cos(x) \), получаем: \[ \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \]

Шаг 2: Подсчет \( \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) \)

Теперь посчитаем \( \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) \): \[ \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\right)^2 = \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \]

Шаг 3: Использование известного значения \( \cos^2\left(x\right) \)

Существует формула для вычисления косинуса половинного угла: \[ \cos^2\left(x\right) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \] Подставив \( x = \frac{\pi}{8} \): \[ \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2} \] Так как \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то: \[ \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \]

Шаг 4: Подстановка обратно в выражение

Теперь вернемся к первоначальному выражению: \[ 4 \sqrt{2} \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) - 2\sqrt{2} \] Подставляем: \[ = 4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 2\sqrt{2} \]

Шаг 5: Упрощение

Сначала упростим первый элемент: \[ 4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}(2 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 2 \] Теперь подставляем в выражение: \[ 2\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{2} = 2 \]

Ответ

Таким образом, искомое значение: \[ \boxed{2} \]