В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 3 см, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 60 градусов. Найдите тангенс угла между боковой гранью…

Для решения задачи нам нужно определить тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды.

Шаг 1: Определим элементы фигуры

1. Пирамида имеет правильное шестиугольное основание с длиной стороны \( a = 3 \) см.
2. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды равен \( 60^\circ \).

Шаг 2: Анализ боковой грани

Боковая грань правильной шестиугольной пирамиды представляет собой треугольник, где одно основание — это сторона шестиугольника, а другие две стороны — это боковые ребра. Наша задача заключается в том, чтобы найти угол между боковой гранью (то есть между боковым ребром и линией, соединяющей вершину пирамиды с центром основания) и плоскостью основания.

Шаг 3: Используем треугольник для нахождения тангенса

1. Мы знаем, что угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет \( 60^\circ \).
2. Когда мы рассматриваем данный треугольник, мы можем провести перпендикуляр из вершины пирамиды до плоскости основания, который будет представлять высоту.

Шаг 4: Применяем тригонометрию

Согласно определению тангенса:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прижатый катет}} \]

В нашем случае противолежащий катет будет равен высоте пирамиды, а прижатый катет будет равен половине длины стороны основания.

1. Для нахождения высоты пирамиды используем угол наклона прямой:

\[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \]

Пусть \( h \) — высота пирамиды и \( r \) — радиус описанной окружности шестиугольника.

В шестиугольнике радиус описанной окружности \( r \) можно найти по формуле:

\[ r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Где \( a = 3 \): \[ r = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Зная, что:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{3}{2}} \]

Мы можем выразить высоту \( h \):

\[ h = \tan(60^\circ) \cdot \frac{3}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

Шаг 5: Нахождение тангенса угла между боковой гранью и основанием

Теперь, чтобы найти тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания, нужно определить тангенс угла, противоположного высоте и основанию:

\[ \tan(\beta) = \frac{h}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \sqrt{3} \]

Таким образом тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания:

\[ \tan(\beta) = \sqrt{3} \]

Ответ: Тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды равен \( \sqrt{3} \).