Сумма шестого и второго члена арифметической прогрессии равна -6. Девятый её член на 1 больше седьмого. Найдите первый и четвёртый члены арифметической прогрессии.
Для решения этой задачи мы будем использовать основные свойства арифметической прогрессии.
Шаг 1: Определяем обозначения.
Обозначим:
- \( a \) — первый член арифметической прогрессии,
- \( d \) — разность прогрессии.
Формула для n-того члена арифметической прогрессии выглядит так: \[ a_n = a + (n - 1) \cdot d \]
Шаг 2: Запишем условия задачи.
Сумма шестого и второго члена равна -6: \[ a_6 + a_2 = -6 \] Подставим формулы для \(a_6\) и \(a_2\): \[ (a + 5d) + (a + d) = -6 \] Упростим: \[ 2a + 6d = -6 \] Разделим на 2: \[ a + 3d = -3 \quad \text{(1)} \]
Девятый член на 1 больше седьмого: \[ a_9 = a_7 + 1 \] Запишем по формуле: \[ (a + 8d) = (a + 6d) + 1 \] Упростим: \[ a + 8d = a + 6d + 1 \] Переносим \(a\) и \(6d\): \[ 2d = 1 \] Разделим на 2: \[ d = 0.5 \quad \text{(2)} \]
Шаг 3: Подставим значение \(d\) в первое уравнение.
Теперь подставим значение \(d\) из уравнения (2) в уравнение (1): \[ a + 3 \cdot 0.5 = -3 \] Это упрощается до: \[ a + 1.5 = -3 \] Переносим \(1.5\): \[ a = -3 - 1.5 = -4.5 \quad \text{(3)} \]
Шаг 4: Найдем первый и четвертый члены прогрессии.
Теперь у нас есть \(a\) и \(d\):
- Первый член \(a = -4.5\).
- Четвертый член \(a_4\) равен: \[ a_4 = a + 3d = -4.5 + 3 \cdot 0.5 = -4.5 + 1.5 = -3 \]
Ответ:
- Первый член: \(a = -4.5\)
- Четвертый член: \(a_4 = -3\)
Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен \(-4.5\), а четвертый член равен \(-3\).
