Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда равна 75 см²; стороны основания равны 7 см и 24 см найти объем

Для решения задачи о нахождении объема прямоугольного параллелепипеда будем использовать данные о его диагональном сечении и размерах основания.

Дано:

• Площадь диагонального сечения \( S_d = 75 \, \text{см}^2 \)
• Стороны основания \( a = 7 \, \text{см} \) и \( b = 24 \, \text{см} \)

Шаг 1: Найдём высоту параллелепипеда

Площадь диагонального сечения параллелепипеда можно найти с использованием формулы: \[ S_d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \] где \( h \) — высота параллелепипеда.

Как мы знаем, площадь диагонального сечения равна 75 см², а \( a \) и \( b \) — стороны основания.

Сначала найдём квадрат этих сторон:

• \( a^2 = 7^2 = 49 \)
• \( b^2 = 24^2 = 576 \)

Теперь подставим значения в уравнение для площади диагонального сечения: \[ 75 = \sqrt{49 + 576 + h^2} \]

Шаг 2: Упростим уравнение

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ 75^2 = 49 + 576 + h^2 \] \[ 5625 = 625 + h^2 \]

Теперь решим для \( h^2 \): \[ h^2 = 5625 - 625 = 5000 \]

Теперь найдём \( h \): \[ h = \sqrt{5000} = 100\sqrt{5} \, \text{см} \]

Шаг 3: Найдём объем параллелепипеда

Объем \( V \) параллелепипеда рассчитывается по формуле: \[ V = a \times b \times h \] Подставим найденные значения: \[ V = 7 \times 24 \times 100\sqrt{5} \] \[ V = 168 \times 100\sqrt{5} \] \[ V = 16800\sqrt{5} \, \text{см}^3 \]

Ответ:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен \( 16800\sqrt{5} \, \text{см}^3 \).

Таким образом, мы нашли объем параллелепипеда, используя данные о его диагональном сечении и размерах основания.