в прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов радиус вписанной в неё окружности 5 см. найдите площадь треугольника.
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника с известным углом и радиусом вписанной окружности, следуем пошагово.
Дано:
- Угол \( A = 30^\circ \) (один из острых углов).
- Радиус вписанной окружности \( r = 5 \) см.
Шаг 1: Понимание свойств треугольника
Прямоугольный треугольник с углом \( 30^\circ \) имеет следующие свойства:
- Угол \( B = 60^\circ \) (второй острый угол, так как сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \)).
- Угол \( C = 90^\circ \) (прямой угол).
Шаг 2: Использование формулы радиуса вписанной окружности
В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
где:
- \( a \) и \( b \) — катеты,
- \( c \) — гипотенуза.
Шаг 3: Выражение сторон через гипотенузу
Для прямоугольного треугольника со сторонами в соотношении:
- Если \( a \) — противолежащая сторона углу \( 30^\circ \), то \( a = \frac{c}{2} \).
- Если \( b \) — прилежащая сторона углу \( 30^\circ \), то \( b = \frac{c \sqrt{3}}{2} \).
Шаг 4: Подстановка в формулу радиуса
Теперь подставляем \( a \) и \( b \) в формулу радиуса:
\[ r = \frac{\frac{c}{2} + \frac{c\sqrt{3}}{2} - c}{2} \]
Сокращаем:
\[ r = \frac{c \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - 1 \right)}{2} \]
\[ r = \frac{c \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right)}{2} = \frac{c(\sqrt{3} - 1)}{4} \]
Шаг 5: Найдем гипотенузу \( c \)
Теперь можем выразить \( c \):
\[ 5 = \frac{c(\sqrt{3} - 1)}{4} \]
Перемножаем на 4:
\[ 20 = c(\sqrt{3} - 1) \]
Следовательно,
\[ c = \frac{20}{\sqrt{3} - 1} \]
Шаг 6: Определение площади треугольника
Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как:
\[ S = \frac{1}{2}ab \]
Подставляем выражения для катетов:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{c^2 \sqrt{3}}{8} \]
Шаг 7: Вычисление площади
Чтобы найти \( S \), нам нужно сначала найти \( c \):
- Вычислите \( c \approx 12.86 \).
- Подставьте это значение в формулу площади:
\[ S = \frac{(12.86)^2 \cdot \sqrt{3}}{8} \]
Заключение
Зная этот расчет можно подвести итог, что площадь треугольника равна примерно \( 44.7 \text{ см}^2 \).
Таким образом, мы решили задачу пошагово, используя геометрические и тригонометрические соотношения, связанные с прямоугольными треугольниками.
