В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов радиус вписанной в неё окружности 5 см. найдите площадь треугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника с известным углом и радиусом вписанной окружности, следуем пошагово. ### Дано: - Угол \( A = 30^\circ \) (один из острых углов). - Радиус вписанной окружности \( r = 5 \) см. ### Шаг 1: Понимание свойств треугольника Прямоугольный треугольник с углом \( 30^\circ \) имеет следующие свойства: - Угол \( B = 60^\circ \) (второй острый угол, так как сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \)). - Угол \( C = 90^\circ \) (прямой угол). ### Шаг 2: Использование формулы радиуса вписанной окружности В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно найти по формуле: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где: - \( a \) и \( b \) — катеты, - \( c \) — гипотенуза. ### Шаг 3: Выражение сторон через гипотенузу Для прямоугольного треугольника со сторонами в соотношении: - Если \( a \) — противолежащая сторона углу \( 30^\circ \), то \( a = \frac{c}{2} \). - Если \( b \) — прилежащая сторона углу \( 30^\circ \), то \( b = \frac{c \sqrt{3}}{2} \). ### Шаг 4: Подстановка в формулу радиуса Теперь подставляем \( a \) и \( b \) в формулу радиуса: \[ r = \frac{\frac{c}{2} + \frac{c\sqrt{3}}{2} - c}{2} \] Сокращаем: \[ r = \frac{c \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - 1 \right)}{2} \] \[ r = \frac{c \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right)}{2} = \frac{c(\sqrt{3} - 1)}{4} \] ### Шаг 5: Найдем гипотенузу \( c \) Теперь можем выразить \( c \): \[ 5 = \frac{c(\sqrt{3} - 1)}{4} \] Перемножаем на 4: \[ 20 = c(\sqrt{3} - 1) \] Следовательно, \[ c = \frac{20}{\sqrt{3} - 1} \] ### Шаг 6: Определение площади треугольника Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2}ab \] Подставляем выражения для катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{c^2 \sqrt{3}}{8} \] ### Шаг 7: Вычисление площади Чтобы найти \( S \), нам нужно сначала найти \( c \): 1. Вычислите \( c \approx 12.86 \). 2. Подставьте это значение в формулу площади: \[ S = \frac{(12.86)^2 \cdot \sqrt{3}}{8} \] ### Заключение Зная этот расчет можно подвести итог, что площадь треугольника равна примерно \( 44.7 \text{ см}^2 \). Таким образом, мы решили задачу пошагово, используя геометрические и тригонометрические соотношения, связанные с прямоугольными треугольниками.