Какое количество элементарных событий в серии из 12 испытаний Бернулли благоприятствует 4 успехам

Для решения данной задачи начнем с определения, что такое "испытание Бернулли" и как мы можем рассчитать количество элементарных событий.

Испытание Бернулли

Испытание Бернулли – это случайный эксперимент, который имеет только два возможных исхода: успех (обычно обозначается буквой "1") и неудача (обозначается буквой "0"). В нашем случае мы проводим 12 таких испытаний и интересуемся тем, сколько их закончится успехом, а сколько — неудачей.

Задача

Нам необходимо найти количество элементарных событий, которые приводят к 4 успехам в 12 испытаниях Бернулли.

Комбинаторика

В данной ситуации мы используем комбинации. Формула для вычисления количества способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \) испытаний выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( C(n, k) \) — количество сочетаний (комбинаций),
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успехов,
• \( n! \) — факториал числа \( n \), который равен произведению всех целых чисел от 1 до \( n \).

Применение формулы

В нашем случае \( n = 12 \) (общее количество испытаний), \( k = 4 \) (количество успехов). Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} \]

Чтобы вычислить это, обратите внимание, что \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8! \). Таким образом, \( 8! \) сокращается:

\[ C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!} \]

Теперь вычислим \( 4! \):

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24} \]

Теперь вычислим числитель:

\[ 12 \times 11 = 132 \\ 132 \times 10 = 1320 \\ 1320 \times 9 = 11880 \]

Теперь подели на 24:

\[ C(12, 4) = \frac{11880}{24} = 495 \]

Ответ

Таким образом, количество элементарных событий, которые приводят к 4 успехам в 12 испытаниях Бернулли, равно 495.