На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−3; 9). В какой точке отрезка [3;8] f(x) принимает наименьшее значение?
Для того чтобы понять, в какой точке отрезка [3; 8] функция \( f(x) \) принимает наименьшее значение, мы будем использовать график её производной \( f'(x) \). Рассмотрим пошагово, как это сделать:
Определение значения производной: График производной функции показывает, как изменяется функция \( f(x) \) в зависимости от \( x \). Если \( f'(x) > 0 \), это означает, что \( f(x) \) возрастает, если \( f'(x) < 0 \), значит, \( f(x) \) убывает.
Поиск критических точек: Для нахождения наименьшего значения функции в отрезке [3; 8] нам нужно определить критические точки. Это точки, где производная равна нулю (\( f'(x) = 0 \)) или не существует. На графике таких точек обычно обозначают точками пересечения с осью абсцисс.
Анализ интервального поведения: Определив критические точки на интервале (3; 8), важно также учесть значения производной в концах интервала. Это значит, что нужно посмотреть, как выглядят производные на отрезке [3; 8]:
- Если производная в точках \( x = 3 \) и \( x = 8 \) положительна, значит, функция \( f(x) \) может быть минимальной в начале (то есть в \( x = 3 \)) или в конце (в \( x = 8 \)).
- Если производная меняет знак на интервале, тогда в точках изменения знака может находиться минимум.
Сравнение значений функции на критических точках и границах: После того как вы нашли критические точки, вычислите значения функции \( f(x) \) в этих точках, а также в границах интервала \( x = 3 \) и \( x = 8 \). Наименьшее из этих значений будет соответствовать наименьшему значению функции на данном отрезке.
Если у вас есть конкретный график производной, воспользуйтесь им, чтобы определить, где она равна нулю, и как ведет себя на отрезке [3; 8]. В итоге, проанализировав значения \( f(x) \) в интересующих вас точках, вы сможете найти, где функция \( f(x) \) принимает наименьшее значение.
