1. Постройте график функции 𝑦 = −𝑥 2 − 6𝑥 + 7.С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются. 2. Каждый график соотнесите с соответствующей формулой 1) 𝑦 = √𝑥; 2) 𝑦 = |𝑥| ; 3) 𝑦 = − 1 𝑥 ; 4) 𝑦 = 𝑥 2 ; 5) 𝑦 = 𝑥 3 ; 6) 𝑦 = 1 𝑥 ; 7) 𝑦 = −𝑥 2 А Б В Г

Решим вашу задачу по шагам. ### 1. Построение графика функции и анализ #### 1.1. Определение функции Функция задана как \( y = -x^2 - 6x + 7 \). Это квадратичная функция. #### 1.2. Область определения Область определения квадратичной функции: все действительные числа, т.е. \( D_f = (-\infty; +\infty) \). #### 1.3. Область значений Чтобы найти область значений, сначала найдем координаты вершины параболы. Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] где \( a = -1 \), \( b = -6 \). Подставим: \[ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = \frac{6}{-2} = -3 \] Теперь подставим \( x_v \) в уравнение функции, чтобы найти \( y_v \): \[ y_v = -(-3)^2 - 6(-3) + 7 = -9 + 18 + 7 = 16 \] Таким образом, координаты вершины: \((-3, 16)\). Так как парабола открыта вниз (коэффициент перед \( x^2 \) отрицательный), наименьшее значение функции достигается на бесконечности, а наибольшее значение в вершине, т.е.: \[ D_y = (-\infty; 16] \] #### 1.4. Нули функции Нули функции находятся при \( y = 0 \): \[ 0 = -x^2 - 6x + 7 \] Умножим всё на \(-1\): \[ 0 = x^2 + 6x - 7 \] Решаем квадратное уравнение по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2} \] Решения: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-14}{2} = -7 \] Таким образом, нули функции: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -7 \). #### 1.5. Промежутки знакопостоянства Функция меняет знак в точках \( x = -7 \) и \( x = 1 \). Проверим промежутки: 1. Для \( x < -7 \) (например, \( x = -8 \)): \( y > 0 \) 2. Для \( -7 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( y < 0 \) 3. Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( y < 0 \) Промежутки знакопостоянства: - \( (-\infty, -7) \) (знак \( + \)) - \( (-7, 1) \) (знак \( - \)) - \( (1, +\infty) \) (знак \( - \)) #### 1.6. Промежутки возрастания и убывания Функция возрастает на \( (-\infty, -3) \) (до вершины) и убывает на \( (-3, +\infty) \) (после вершины). ### 1.7. Наименьшие и наибольшие значения Наименьшее значение не существует, так как функция уходит на \( -\infty \), а наибольшее значение функции равно 16 (при \( x = -3 \)). ### 2. Соотнесение графиков с формулами Сравните графики и функции: 1) \( y = \sqrt{x} \) - График квадратного корня, начинается в точке (0,0), идёт вверх. 2) \( y = |x| \) - Абсолютное значение, V-образный график. 3) \( y = -\frac{1}{x} \) - График гиперболы, уходит в бесконечность в разных квадрантах. 4) \( y = x^2 \) - Квадратная парабола, открыта вверх. 5) \( y = x^3 \) - Кубическая функция, проходящая через начало координат, имеет S-образный вид. 6) \( y = \frac{1}{x} \) - График гиперболы, с вертикальной асимптотой по оси Y. 7) \( y = -x^2 \) - Квадратная парабола, открыта вниз. Попробуйте сопоставить особенности графиков с формулами, учитывая их поведение в различных диапазонах.