1. Постройте график функции 𝑦 = −𝑥 2 − 6𝑥 + 7.С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г)…

Решим вашу задачу по шагам.

1. Построение графика функции и анализ

1.1. Определение функции

Функция задана как \( y = -x^2 - 6x + 7 \). Это квадратичная функция.

1.2. Область определения

Область определения квадратичной функции: все действительные числа, т.е. \( D_f = (-\infty; +\infty) \).

1.3. Область значений

Чтобы найти область значений, сначала найдем координаты вершины параболы. Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] где \( a = -1 \), \( b = -6 \). Подставим: \[ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = \frac{6}{-2} = -3 \]

Теперь подставим \( x_v \) в уравнение функции, чтобы найти \( y_v \): \[ y_v = -(-3)^2 - 6(-3) + 7 = -9 + 18 + 7 = 16 \] Таким образом, координаты вершины: \((-3, 16)\).

Так как парабола открыта вниз (коэффициент перед \( x^2 \) отрицательный), наименьшее значение функции достигается на бесконечности, а наибольшее значение в вершине, т.е.: \[ D_y = (-\infty; 16] \]

1.4. Нули функции

Нули функции находятся при \( y = 0 \): \[ 0 = -x^2 - 6x + 7 \] Умножим всё на \(-1\): \[ 0 = x^2 + 6x - 7 \] Решаем квадратное уравнение по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2} \] Решения: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-14}{2} = -7 \] Таким образом, нули функции: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -7 \).

1.5. Промежутки знакопостоянства

Функция меняет знак в точках \( x = -7 \) и \( x = 1 \). Проверим промежутки:

1. Для \( x < -7 \) (например, \( x = -8 \)): \( y > 0 \)
2. Для \( -7 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( y < 0 \)
3. Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( y < 0 \)

Промежутки знакопостоянства:

• \( (-\infty, -7) \) (знак \( + \))
• \( (-7, 1) \) (знак \( - \))
• \( (1, +\infty) \) (знак \( - \))

1.6. Промежутки возрастания и убывания

Функция возрастает на \( (-\infty, -3) \) (до вершины) и убывает на \( (-3, +\infty) \) (после вершины).

1.7. Наименьшие и наибольшие значения

Наименьшее значение не существует, так как функция уходит на \( -\infty \), а наибольшее значение функции равно 16 (при \( x = -3 \)).

2. Соотнесение графиков с формулами

Сравните графики и функции:

1. \( y = \sqrt{x} \) - График квадратного корня, начинается в точке (0,0), идёт вверх.
2. \( y = |x| \) - Абсолютное значение, V-образный график.
3. \( y = -\frac{1}{x} \) - График гиперболы, уходит в бесконечность в разных квадрантах.
4. \( y = x^2 \) - Квадратная парабола, открыта вверх.
5. \( y = x^3 \) - Кубическая функция, проходящая через начало координат, имеет S-образный вид.
6. \( y = \frac{1}{x} \) - График гиперболы, с вертикальной асимптотой по оси Y.
7. \( y = -x^2 \) - Квадратная парабола, открыта вниз.

Попробуйте сопоставить особенности графиков с формулами, учитывая их поведение в различных диапазонах.