Расстояние между двумя пристанями по реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной пристани до другой и через 4 ч вернулась назад, затратив на стоянку 24 мин. Найдите…

Для решения этой задачи нам нужно найти собственную скорость моторной лодки, учитывая скорость течения реки и время, затраченное на путешествие. Давайте разберём это шаг за шагом.

Дано:

• Расстояние между пристанями: \( D = 21 \, \text{км} \)
• Время на поездку в одну сторону: \( t_{total} = 4 \, \text{ч} \) (включая время на стоянку)
• Время на стоянку: \( t_{stop} = 24 \, \text{мин} = \frac{24}{60} \, \text{ч} = 0.4 \, \text{ч} \)
• Скорость течения реки: \( V_{current} = 2 \, \text{км/ч} \)

Шаг 1: Определение времени в пути

Время в пути (в одну сторону) можно вычислить, вычтя время стоянки из общего времени: \[ t_{path} = t_{total} - t_{stop} = 4 \, \text{ч} - 0.4 \, \text{ч} = 3.6 \, \text{ч} \]

Шаг 2: Описание скорости

Обозначим собственную скорость лодки как \( V_{boat} \).

Когда лодка движется по течению, её эффективная скорость: \[ V_{down} = V_{boat} + V_{current} = V_{boat} + 2 \] Когда лодка возвращается против течения, её эффективная скорость: \[ V_{up} = V_{boat} - V_{current} = V_{boat} - 2 \]

Шаг 3: Временные затраты на путь

При движении вниз по реке время пути можно выразить как: \[ t_{down} = \frac{D}{V_{down}} = \frac{21}{V_{boat} + 2} \] При движении вверх по реке время пути будет: \[ t_{up} = \frac{D}{V_{up}} = \frac{21}{V_{boat} - 2} \]

Шаг 4: Общее время в пути

Общее время в пути (вниз и вверх) составит: \[ t_{path} = t_{down} + t_{up} = \frac{21}{V_{boat} + 2} + \frac{21}{V_{boat} - 2} \]

Шаг 5: Составим уравнение

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв общее время к 3.6 ч: \[ \frac{21}{V_{boat} + 2} + \frac{21}{V_{boat} - 2} = 3.6 \]

Шаг 6: Умножаем на знаменатели

Умножим обе стороны уравнения на \( (V_{boat} + 2)(V_{boat} - 2) \) (это делается для избавления от дробей): \[ 21(V_{boat} - 2) + 21(V_{boat} + 2) = 3.6(V_{boat} + 2)(V_{boat} - 2) \]

Шаг 7: Упрощаем уравнение

Распределим и упростим: \[ 21V_{boat} - 42 + 21V_{boat} + 42 = 3.6(V_{boat}^2 - 4) \] \[ 42V_{boat} = 3.6V_{boat}^2 - 14.4 \] \[ 0 = 3.6V_{boat}^2 - 42V_{boat} - 14.4 \]

Шаг 8: Результирующее уравнение

С помощью данной формулы мы можем использовать формулу решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

• \( a = 3.6 \)
• \( b = -42 \)
• \( c = -14.4 \)

Шаг 9: Используем дискриминант

Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 3.6 \cdot (-14.4) = 1764 + 207.36 = 1971.36 \] Теперь найдем корни уравнения: \[ V_{boat} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 \pm \sqrt{1971.36}}{2 \cdot 3.6} \] Рассчитаем значение: \[ \sqrt{1971.36} \approx 44.4 \] Подставим: \[ V_{boat} = \frac{42 \pm 44.4}{7.2} \]

Шаг 10: Находим скорости

Первая скорость (положительное): \[ V_{boat} = \frac{42 + 44.4}{7.2} \approx 12 \, \text{км/ч} \] Вторая скорость (отрицательное): \[ V_{boat} = \frac{42 - 44.4}{7.2} \approx -0.33 \text{ (не может быть)} \]

Ответ

Таким образом, собственная скорость моторной лодки составляет примерно 12 км/ч.