Для нахождения площади прямоугольной трапеции воспользуемся формулой, которая связывает стороны трапеции и её площадь:
[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} ]
где ( S ) — площадь трапеции, ( a ) и ( b ) — основания трапеции, а ( h ) — высота.
В данной задаче нам даны следующие данные:
- Большая диагональ ( d = 17 ) см (хотя она не понадобится для вычисления площади).
- Большое основание ( a = 15 ) см.
- Меньшее основание ( b = 9 ) см.
Вначале мы должны найти высоту ( h ) трапеции. Мы можем использовать теорему Пифагора. Для этого нарисуем высоты от концов меньшего основания к большему, они пересекутся и образуют прямоугольный треугольник.
1. Находим высоту.
Обозначим:
- Высоту, которую мы ищем, — ( h ).
- Половину разности оснований — это длина отрезка между проекциями концов меньшего основания на большее. Это будет ( (a - b) / 2 = (15 - 9) / 2 = 3 ) см.
Теперь используем теорему Пифагора:
[
d^2 = h^2 + \left( \frac{a - b}{2} \right)^2
]
Подставим известные значения:
[
17^2 = h^2 + 3^2
]
[
289 = h^2 + 9
]
Теперь решим это уравнение для ( h^2 ):
[
h^2 = 289 - 9 = 280
]
Теперь найдём ( h ):
[
h = \sqrt{280} = \sqrt{4 \cdot 70} = 2\sqrt{70}
]
2. Подставляем значения в формулу площади.
Теперь, зная все необходимые параметры, можем рассчитать площадь трапеции:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]
Подставляем:
[
S = \frac{(15 + 9) \cdot 2\sqrt{70}}{2}
]
Упростим:
[
S = (15 + 9) \cdot \sqrt{70} = 24 \cdot \sqrt{70}
]
Таким образом, площадь трапеции равна ( 24\sqrt{70} ) см². Численно это будет примерно равняться:
[
\sqrt{70} \approx 8.37 \quad \Rightarrow \quad S \approx 24 \cdot 8.37 \approx 200.88 \text{ см}².
]
Ответ: площадь трапеции составляет ( 24\sqrt{70} \approx 200.88 ) см².
