Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 17см, а большее основание 15см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 9 см
Для нахождения площади прямоугольной трапеции воспользуемся формулой, которая связывает стороны трапеции и её площадь:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где \( S \) — площадь трапеции, \( a \) и \( b \) — основания трапеции, а \( h \) — высота.
В данной задаче нам даны следующие данные:
- Большая диагональ \( d = 17 \) см (хотя она не понадобится для вычисления площади).
- Большое основание \( a = 15 \) см.
- Меньшее основание \( b = 9 \) см.
Вначале мы должны найти высоту \( h \) трапеции. Мы можем использовать теорему Пифагора. Для этого нарисуем высоты от концов меньшего основания к большему, они пересекутся и образуют прямоугольный треугольник.
1. Находим высоту.
Обозначим:
- Высоту, которую мы ищем, — \( h \).
- Половину разности оснований — это длина отрезка между проекциями концов меньшего основания на большее. Это будет \( (a - b) / 2 = (15 - 9) / 2 = 3 \) см.
Теперь используем теорему Пифагора:
\[ d^2 = h^2 + \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 17^2 = h^2 + 3^2 \]
\[ 289 = h^2 + 9 \]
Теперь решим это уравнение для \( h^2 \):
\[ h^2 = 289 - 9 = 280 \]
Теперь найдём \( h \):
\[ h = \sqrt{280} = \sqrt{4 \cdot 70} = 2\sqrt{70} \]
2. Подставляем значения в формулу площади.
Теперь, зная все необходимые параметры, можем рассчитать площадь трапеции:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
Подставляем:
\[ S = \frac{(15 + 9) \cdot 2\sqrt{70}}{2} \]
Упростим:
\[ S = (15 + 9) \cdot \sqrt{70} = 24 \cdot \sqrt{70} \]
Таким образом, площадь трапеции равна \( 24\sqrt{70} \) см². Численно это будет примерно равняться:
\[ \sqrt{70} \approx 8.37 \quad \Rightarrow \quad S \approx 24 \cdot 8.37 \approx 200.88 \text{ см}². \]
Ответ: площадь трапеции составляет \( 24\sqrt{70} \approx 200.88 \) см².
