В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра AB, AD и АА1 равны 4 см, 3 см и корень из 11 см соответственно. Найдите угол между плоскостями ABD1 и CBD1 подробно реши

Чтобы найти угол между плоскостями \(ABD_1\) и \(CBD_1\) в прямоугольном параллелепипеде \(ABCD A_1B_1C_1D_1\), начнем с определения координат вершин параллелепипеда:

1. Вершина \(A(0, 0, 0)\)
2. Вершина \(B(4, 0, 0)\) (длина ребра \(AB = 4 \, \text{см}\))
3. Вершина \(D(0, 3, 0)\) (длина ребра \(AD = 3 \, \text{см}\))
4. Вершина \(A_1(0, 0, \sqrt{11})\) (длина ребра \(AA_1 = \sqrt{11} \, \text{см}\))
5. Вершина \(B_1(4, 0, \sqrt{11})\)
6. Вершина \(C(4, 3, 0)\)
7. Вершина \(C_1(4, 3, \sqrt{11})\)
8. Вершина \(D_1(0, 3, \sqrt{11})\)

Теперь найдем векторы, которые лежат в плоскостях \(ABD_1\) и \(CBD_1\):

Шаг 1: Находим векторы

Сначала определим векторы для каждой плоскости.

Для плоскости \(ABD_1\):

• Вектор \(\vec{AB} = B - A = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0)\)
• Вектор \(\vec{AD_1} = D_1 - A = (0 - 0, 3 - 0, \sqrt{11} - 0) = (0, 3, \sqrt{11})\)

Для плоскости \(CBD_1\):

• Вектор \(\vec{CB} = B - C = (4 - 4, 0 - 3, 0 - 0) = (0, -3, 0)\)
• Вектор \(\vec{CD_1} = D_1 - C = (0 - 4, 3 - 3, \sqrt{11} - 0) = (-4, 0, \sqrt{11})\)

Шаг 2: Находим нормали к плоскостям

Чтобы найти угол между плоскостями, вычислим нормали к этим плоскостям, используя векторы, которые мы нашли.

Нормаль к плоскости \(ABD_1\) находится через векторное произведение \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD_1}\): \[ \vec{N_1} = \vec{AB} \times \vec{AD_1} = (4, 0, 0) \times (0, 3, \sqrt{11}) = (0 \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot 3, 0 \cdot 0 - 4 \cdot \sqrt{11}, 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = (0, -4\sqrt{11}, 12) \]

Нормаль к плоскости \(CBD_1\): \[ \vec{N_2} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = (0, -3, 0) \times (-4, 0, \sqrt{11}) = (-3 \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot 0, 0 \cdot -4 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - (-3) \cdot (-4)) = (-3\sqrt{11}, 0, -12) \]

Шаг 3: Находим угол между нормалями

Угол между плоскостями можно найти с помощью скалярного произведения нормалей: \[ \cos \theta = \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}| |\vec{N_2}|} \] Где: \[ \vec{N_1} \cdot \vec{N_2} = (0)(-3\sqrt{11}) + (-4\sqrt{11})(0) + (12)(-12) = -144 \]

Теперь найдём длины векторов: \[ |\vec{N_1}| = \sqrt{0^2 + (-4\sqrt{11})^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 176 + 144} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \] \[ |\vec{N_2}| = \sqrt{(-3\sqrt{11})^2 + 0^2 + (-12)^2} = \sqrt{99 + 0 + 144} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \]

Теперь подставим значения в формулу: \[ \cos \theta = \frac{-144}{(8\sqrt{5})(9\sqrt{3})} = \frac{-144}{72\sqrt{15}} = -\frac{2}{\sqrt{15}} \]

Шаг 4: Угол между плоскостями

Теперь вычислим угол: \[ \theta = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{15}}\right) \]

Это и будет ответ на задачу. Угол между плоскостями \(ABD_1\) и \(CBD_1\) равен \(\arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{15}}\right)\).