В полном графе количество рёбер 153. Сколько в нём вершин?
Для решения данной задачи воспользуемся формулой для полной графа \( K_n \), где \( n \) — количество вершин. Полный граф — это граф, в котором каждая пара вершин соединена ровно одним ребром.
Количество рёбер \( E \) в полном графе рассчитывается по формуле:
\[ E = \frac{n(n-1)}{2} \]
где \( n \) — количество вершин.
В данной задаче нам известно количество рёбер, равное 153. Подставим это значение в формулу:
\[ 153 = \frac{n(n-1)}{2} \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 306 = n(n-1) \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
\[ n^2 - n - 306 = 0 \]
Чтобы решить это уравнение, можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -306 \). Подставим значения:
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306)}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 1224}}{2} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1225}}{2} \] \[ n = \frac{1 \pm 35}{2} \]
Теперь вычислим два возможных значения для \( n \):
- \( n = \frac{1 + 35}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)
- \( n = \frac{1 - 35}{2} = \frac{-34}{2} = -17 \) (это значение некорректно, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Таким образом, количество вершин в полном графе равно:
\[ \boxed{18} \]
Это число соответствует условиям задачи, так как именно столько вершин необходимо для получения 153 рёбер в полном графе.
