Для решения данной задачи воспользуемся формулой для полной графа ( K_n ), где ( n ) — количество вершин. Полный граф — это граф, в котором каждая пара вершин соединена ровно одним ребром.
Количество рёбер ( E ) в полном графе рассчитывается по формуле:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( n ) — количество вершин.
В данной задаче нам известно количество рёбер, равное 153. Подставим это значение в формулу:
[
153 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
306 = n(n-1)
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
[
n^2 - n - 306 = 0
]
Чтобы решить это уравнение, можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -306 ). Подставим значения:
[
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306)}}{2 \cdot 1}
]
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 1224}}{2}
]
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{1225}}{2}
]
[
n = \frac{1 \pm 35}{2}
]
Теперь вычислим два возможных значения для ( n ):
- ( n = \frac{1 + 35}{2} = \frac{36}{2} = 18 )
- ( n = \frac{1 - 35}{2} = \frac{-34}{2} = -17 ) (это значение некорректно, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Таким образом, количество вершин в полном графе равно:
[
\boxed{18}
]
Это число соответствует условиям задачи, так как именно столько вершин необходимо для получения 153 рёбер в полном графе.
